As Estratégias de Ensino na Resolução de Problemas de Adição e Subtração nas Series Iniciais

A outra perspectiva compreende que a resolução de problemas é a "mola propulsora da matemática", mobiliza conhecimentos, desencadeia a construção de outros e/ou atribui significado às situações matemáticas vivenciadas.

Pode-se considerar que um sujeito está diante de um problema quando toma consciência do mesmo e, movido pela necessidade ou desejo, procura solucioná-lo, tendo para isso que dispor de uma atividade mental intensa no processo de planejamento, execução e avaliação de suas ações. O sujeito resolve um problema quando se depara com uma situação nova que o motive, que o envolva em um processo criativo e reflexivo.

Esta pesquisa visa mostrar de maneira sucinta como a resolução de problemas nas séries iniciais pode contribuir para o desenvolvimento do raciocínio lógico e da capacidade de interpretação até mesmo em outras disciplinas.

O motivo da realização deste trabalho foi à constatação da inexistência de material de consulta e apoio, tanto durante o curso que habilita o professor das séries iniciais, como depois no seu trabalho diário em sala de aula. Assim julgamos estar contribuindo com aqueles que têm a difícil, mas gratificante tarefa de orientar e coordenar as atividades das crianças, em sua busca de compreensão das primeiras idéias matemáticas.

1CONTEXTO HISTÓRICO SOBRE A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Para Onuchic (1999) a importância dada à Resolução de Problemas é recente e somente nas últimas décadas é que os educadores matemáticos passaram a aceitar a idéia de que o desenvolvimento da capacidade de se resolver proble­mas merecia mais atenção. A caracterização de Educação Matemática, em termos de Resolução de Problemas, reflete uma tendência de reação a caracterizações passadas como um conjunto de fatos, domínio de procedimentos algorítmicos ou um conhecimento a ser obtido por rotina ou por exercício mental. Hoje, a tendência é caracterizar esse trabalho considerando os estudantes como participantes ativos, às problemas como ins­trumentos precisos e bem definidos e a atividade na resolução de problemas como uma coordenação complexa simultânea de vários níveis de atividade. O ensino de Resolução de Problemas, enquanto campo de pesquisa em Educação Matemática, começou a ser investigado de forma sistemática sob a influência de Polya, nos Estados Unidos, nos anos 60.

De acordo com Andrade (1998, p. 9)

em nível mundial, as investigações sistemáticas sobre Resolução de problemas e suas implicações curriculares têm início na década de 1970. Embora grande parte da literatura hoje conhecida em Resolução de problemas tenha sido desenvolvida a partir dos anos 76, os trabalhos de George Polya datam de 1944. A partir do final da década de 1960 a metodologia de investigação, utilizando sessões de resolução de problemas em grupo e com os alunos se manifestando em voz alta se tornou prática comum. O período de 1962 a 1972 marcou a transição de uma metodologia de investigação de natureza quantitativa para uma qualitativa.

Andrade (1998, p. 7-8) ainda salienta que

De um modo geral, os estudos em Resolução de Problemas preocuparam-se inicialmente, período anterior a 60, com o desempenho bem-sucedido da obtenção da solução de problemas. Não houve preocupação com o processo. Para desenvolver sua capacidade em resolução de problemas, a criança deveria exercitar-se exaustivamente na solução de uma grande quantidade de problemas do mesmo tipo. O ensino de resolução de problemas limitava-se ao ensino da busca de solução, tipo treino, num esquema cognitivo estímulo-resposta, posteriormente, período 60-80, a preocupação voltou-se para o processo envolvido na resolução do problema e, assim, centrando o ensino no uso de diferentes estratégias.

No fim dos anos 70, a Resolução de Problemas ganhou espaço no mundo inteiro. Começou o movimento a favor do ensino de resolução de problemas. Em 1980 é editada, nos Estados Unidos, uma publicação do NGM - National Council of Teachers of Mathematics - An Agenda for Action: Recommendations for School Mathematics of the 1980's, que chamava todos os interessados, pessoas e grupos, para juntos, num esforço cooperativo maçiço, buscar uma melhor educação matemática para todos. A primeira dessas recomendações dizia que

Resolver problemas deve ser o foco da matemática escolar para os anos 80 e que o desenvolvimento da habilidade em resolução de problemas deveria dirigir os esforços dos educadores matemáticos por toda essa década e que o desempenho em saber resolver problemas mediria a eficiência de um domínio, pessoal e nacional, da competência matemática.

O documento ainda dizia que resolução de problemas abrange uma grande quantidade de rotinas e lugares comuns, assim como funções não rotineiras consideradas essenciais na vida diária dos cidadãos. Dizia, também, que é preciso preparar os indivíduos para tratar com problemas especiais com que irão se deparar em suas próprias carreiras. Resolução de Problemas envolve aplicar a matemática ao mundo real, atender a teoria e a prática de ciências atuais e emergentes e resolver questões que ampliam as fronteiras das próprias ciências matemáticas. Não se deveria interpretar esta recomendação entendendo a matemática a ser ensinada somente em função da matemática necessária para se resolver um dado problema, num dado momento. Uma unidade estrutural e eis inter-relações do todo não deveriam ser sacrificadas.

A verdadeira força da resolução de problemas requer um amplo repertório de conhecimento, não se restringindo às particularidades técnicas e aos conceitos, mas estendendo-se às relações entre eles e aos prin­cípios fundamentais que os unifica. O problema não pode ser tratado como um caso isolado. A matemática precisa ser ensinada como matemática e não como um acessório subordinado a seus campos de aplicação. Isso pede uma atenção continuada à sua natureza interna e a seus princípios organizados, assim como a seus usos e aplicações.

As ações recomendadas por esse documento enfatizavam que:

• o currículo matemático deveria ser organizado ao redor de resolução de problemas;
• a definição e a linguagem de resolução de problemas em matemática deveria ser desenvolvida e expandida de modo a incluir uma ampla gama de estratégias, processos e modos de apresentação que encerrassem o pleno potencial de aplicações matemáticas;
• os professores de matemática deveriam criar ambientes de sala de aula onde a resolução de problemas pudesse prosperar;
• materiais curriculares adequados ao ensino de resolução de problemas deveriam ser desenvolvidos para todos os níveis de escolaridade; os programas de matemática dos anos 80 deveriam envolver os estu­dantes com resolução de problemas, apresentando aplicações em to­dos os níveis;
• pesquisadores e agências de fomento à pesquisa deveriam priorizar, nos anos 80, investigações em resolução de problemas.

Nesse documento, também se enfatiza a compreensão da relevância de aspectos sociais, antropológicos e lingüísticos, além dos cognitivos, na aprendizagem da matemática, imprimindo assim novos rumos às discussões curriculares. Os programas de matemática deveriam tirar vantagem da força das calculadoras e computadores nos diferentes níveis de escolaridade.

Andrade (1998, p. 09), afirma que

Nessa década a ATM (Association of Teachers of Mathematics), entidade inglesa, estabeleceu que a habilidade em resolução de problemas fosse o cen­tro do ensino de matemática e que deveria substituir a aritmética elementar como tema principal nas classes elementares. Na metade da década de 1980, Resolução de Problemas passa a ocupar a atenção de quase todos os congressos de nível internacional. É nessa década que o Brasil, de fato, começa a trabalhar sobre Resolução de Problemas.

Fiorentini (1994, p.189) disse que "os estudos relativos ao ensino de resolução de problemas só seriam iniciados, de modo mais efetivo, a partir da segunda metade da década de 80." Esses estudos restringem-se, quase que absolutamente, a trabalhos traduzidos em dissertações de Mestrado e teses de Doutorado.

Onuchic (1999) explica que no final da década de 1980, a Resolução de Problemas como uma arte e como um objetivo é questionado por pesquisadores do mundo inteiro. Os parâmetros Curriculares Nacionais chamaram a atenção para o documento "Uma Agenda para a Ação" dizendo que suas idéias influenciaram as reformas ocorridas em todo o mundo e que muitos pontos de convergência foram constatados nas propostas levantadas no período 1980/1995.

As discussões sobre Resolução de Problemas e os esforços feitos para desenvolver currículos e materiais instrucionais, tanto para professores como para alunos, têm sido convenientes e úteis. A noção de que Resolução de Problemas devesse desempenhar um papel importante no currículo teve aceitação bem difundida.

Durante a década de 1980, muitos recursos em resolução de problemas foram desenvolvidos, visando ao trabalho em sala de aula, na forma de coleções de problemas, listas de estratégias, sugestões de atividades e orientações para avaliar o desempenho em resolução de problemas. Muito desse material passou a ajudar os professores a fazerem da resolução de problemas o ponto central de seu trabalho. Entretanto, não deu o tipo de coerência e a direção necessária a um bom resultado porque havia pouca concordância na forma pela qual este objetivo era encarado. Essa falta de concordância ocorreu, possivelmente, pelas grandes diferenças existentes entre as concepções que pessoas e grupos tinham sobre o significado de "resolução de problemas ser o foco da matemática escolar", conforme esclarece Onuchic (1999).

É importante dizer que os estudos da década de 1980 deram grande atenção ao processo de resolução de problemas, não se limitando à busca da solução. Mesmo assim, o processo continuou preso à busca da solução do problema.

Schroeder &. Lester (1989, p.31-4) apresentam três modos diferentes de abordar Resolução de Problemas, que podem nos ajudar a refletir sobre essas diferenças:

Ensinar sobre resolução de problemas, ensinar a resolver problemas e ensinar matemática através da resolução de problemas. O professor que ensina sobre resolução de problemas procura ressaltar o modelo de resolução de problemas de Polya ou alguma variação dele. Este modelo descreve um conjunto de quatro fases interdependentes no processo de resolver problemas matemáticos: compreender o problema, criar um plano, levar avante esse plano e olhar de volta o problema original. Ao ensinar a resolver problemas, o professor se concentra na maneira como a matemática é ensinada e o que dela pode ser aplicada na solução de problemas rotineiros e não rotineiros. Embora a aquisição de conhecimento matemático seja importante, a proposta essencial para aprender matemática é ser capaz de usá-la. Em conseqüência disso, dá-se aos alunos muitos exemplos de conceitos e de estruturas matemáticas sobre aquilo que estão estudando e muitas oportunidades de aplicar essa matemática ao resolver problemas.

Acabando a década de 1980 com todas essas recomendações de ação, pesquisadores passaram a questionar o ensino e o efeito de estratégias e modelos. Começam a discutir as perspectivas didático-pedagógicas da resolução de problemas.

Por Andrade (1998, p. 12), a Resolução de Problemas passa a ser pensada como

uma metodologia de ensino, como um ponto de partida e um meio de se ensinar matemática. O problema é olhado como um elemento que pode disparar um processo de construção do conhecimento. Sob esse enfoque, problemas são propostos ou formulados de modo a contribuir para a formação dos conceitos antes mesmo de sua apresentação em linguagem matemática formal. O foco está na ação por parte do aluno. A Resolução de Problemas como uma metodologia de ensino passa a ser o lema das pesquisas e estudos de Resolução de Problemas para os anos 90.

Ao se ensinar matemática através da resolução de problemas, os problemas são importantes não somente como um propósito de se aprender matemática, mas, também, como um primeiro passo para se fazer isso. O ensino-aprendizagem de um tópico matemático começa com uma situação-problema que expressa aspectos-chave desse tópico e são desenvolvidas técnicas matemáticas como respostas razoáveis para problemas razoáveis. Um objetivo de se aprender matemática é o de poder transformar certos problemas não rotineiros em rotineiros. O aprendizado, deste modo, pode ser visto como um movimento do concreto (um problema do mundo real que serve como exemplo do conceito ou da técnica operatória) para o abstrato (uma representação simbólica de uma classe de problemas e técnicas para operar com esses símbolos).

Observa-se que, embora na teoria as três concepções de ensinar resolução de problemas matemáticos possam ser separadas, na prática elas se superpõem e acontecem em várias combinações e seqüências.

Schroeder &. Lester (1989, p.34) dizem que Ensino de Matemática através de Resolução de Problemas não tem sido adotada, quer implicitamente quer explicitamente, por muitos professores, autores de livros e promotores de currículos, mas constitui-se numa abordagem que merece ser considerada, desenvolvida e avaliada. Sem dúvida, ensinar matemática através da resolução de problemas é a abordagem mais consistente com as recomendações do NCTM e dos PCN, pois conceitos e habilidades matemáticas são aprendidos no contexto de resolução de problemas. O desenvolvimento de processos de pensamento de alto nível deve ser promovido através de experiências em resolução de problemas, e o trabalho de ensino de matemática deve acontecer numa atmosfera de investigação orientada em resolução de problemas.

O ponto central em trabalhar o ensino-aprendizagem de matemática através da resolução de problemas baseia-se na crença de que a razão mais importante para esse tipo de ensino é a de ajudar os alunos a compreender os conceitos, os processos e as técnicas operatórias necessárias dentro do trabalho feito em cada unidade temática.

Assim sendo, a compreensão de matemática, por parte dos alunos, envolve a idéia de que entender é essencialmente relacionar. Para Onuchic (1999, p. 208) esta posição baseia-se na observação de que a compreensão aumenta quando:

o aluno é capaz de relacionar uma determinada idéia matemática a um grande número ou a uma variedade de contextos;

o aluno consegue relacionar um dado problema a um grande número de idéias matemáticas implícitas nele; o aluno consegue construir relações entre as várias idéias matemáticas contidas num problema.

As indicações de que um estudante entende, interpreta mal ou não entende idéias matemáticas específicas surgem, com freqüência, quando ele resolve um problema. Acredita-se que, ao invés de fazer da resolução de problemas o foco do ensino da matemática, professores, autores de livros, promotores de currículos e avaliadores de aprendizagem deveriam fazer da compreensão seu ponto central e seu objetivo. Fazendo isso, eles mudariam a visão estreita de que matemática é apenas uma ferramenta para resolver problemas, para uma visão mais ampla de que matemática é um caminho de pensar e um organizador de experiências.

É importante ter a visão de que compreender deve ser o principal objetivo do ensino, apoiados na crença de que o aprendizado de matemática, pelos alunos, é mais forte quando é autogerado do que quando lhes é imposto por um professor ou por um livro-texto. Quando os professores ensinam matemática através da resolução de problemas, eles estão dando a seus alunos um meio poderoso e muito importante de desenvolver sua própria compreensão. À medida que a compreensão dos alunos se torna mais profunda e mais rica, sua habilidade em usar matemática para resolver problemas aumenta consideravelmente.

1.1 O ensino de matemática através da Resolução de Problemas no Brasil

La Taille (1997) escreveu que o problema central da educação no Brasil é o de sua qualidade. Também diz que os parâmetros Curriculares Nacionais são uma proposta cujo objetivo é nortear o trabalho dos educadores e que sua elaboração foi inspirada em experiências pedagógicas desenvolvidas em várias regiões do país.

Onuchic (1999) explica que a atualidade dos PCN é evidente, pois eles traduzem a necessidade de se achar um denominador comum para a educação brasileira. Em torno deles deverá acontecer uma profícua reflexão sobre os objetivos da educação e de sua qualidade. Os PCN preconizam que a educação deve ser pensada como um trabalho de preparação do aluno para a vida como um todo. A tendência atual é pensar a escola como um lugar onde se preparam meninos e meninas para assumir sua parcela de responsabilidade pelo mundo, para conhecer seus direitos para poder participar da construção de uma sociedade melhor.

La Taille, (1997) mostra que de acordo com os PCN a Matemática é componente importante na construção da cidadania, na medida em que a sociedade se utiliza, cada vez mais, de conhecimentos científicos e recursos tecnológicos, dos quais os cidadãos devem se apropriar.

De acordo com Onuchic (1999) os PCN visam à construção de um referencial que oriente a prática escolar de forma a contribuir para que toda criança e jovem brasileiros tenham acesso a um conhecimento matemático que lhes possibilite, de fato, sua inserção no mundo do trabalho, das relações sociais e da cultura. Como decorrência, poderão nortear a formação inicial e continuada de professores, pois, à medida que os fundamentos do currículo se tornam claros, ficam implícitos o tipo de formação que se pretende para o professor e a orientação à produção de livros e de outros materiais didáticos, contribuindo dessa forma para a configuração de uma política voltada à melhoria do ensino. Os PCN indicam a Resolução de Problemas como ponto de partida de atividades matemáticas e discutem caminhos para fazer matemática na sala de aula, destacando a importância da História da Matemática e da Tecnologia de Comunicação.

O PCN (1997) mostra que os objetivos gerais da área de Matemática, buscam contemplar todas as linhas que devem ser trabalhadas no ensino de matemática. Esses objetivos têm como propósito fazer com que os alunos possam pensar matematicamente, levantar idéias matemáticas, estabelecer relações entre elas, saber se comunicar ao falar sobre elas, desenvolver formas de raciocínio, estabelecer conexões entre temas matemáticos e outras áreas, poder construir conhecimentos matemáticos e desenvolver a capacidade de resolver problemas, explora-los, generalizá-los e até propor novos problemas a partir deles.

Portanto, os PCN não devem ser assumidos como um pacote pedagógico, mas como orientações curriculares feitas e refeitas na prática escolar.

2OS PROBLEMAS MATEMÁTICOS ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Quando se trata das séries iniciais, alguns professores chegam a considerar a resolução de problemas como a principal razão de se aprender e ensinar Matemática, porque é através dela que se inicia o aluno no modo de pensar matemático e nas aplicações da Matemática no nível elementar.

Dante (1994, p. 08) nos mostra que apesar de ser extremamente valorizada, a resolução de problemas é um tópico difícil de ser trabalhado em sala de aula. É comum os alunos saberem efetuar todos os algoritmos (as "continhas" de adição, subtração, multiplicação e divisão) e não conseguirem resolverem um problema que envolve um ou mais desses conceitos. Há fatores que agravam essa dificuldade, e entre eles a interpretação do enunciado, a falsa proximidade entre o problema escolar e o cotidiano dos alunos, a falta de compreensão dos diferentes significados de cada uma das operações, o padrão de problemas propostos, a ênfase que a escola dá ao modo "correto" de resolver os problemas.

2.1 O que é um problema?

O termo problema pode fazer referência a situações muito diferentes, em função do contexto no qual ocorrem e das características das pessoas que nelas se encontram envolvidas. Diante dessa visão os professores acabam aprendendo que os problemas que expõem aos alunos em sala de aula podem diferir consideravelmente dos que eles próprios se colocam fora da classe. Assim sendo a escola se interessa em fazer com que os alunos não somente se coloquem diante de determinados problemas, mas que cheguem, inclusive, a adquirir os meios para resolvê-los.

A palavra "problema" ocorre em muitas profissões e tem significados distintos. De acordo com Dante (1994, p. 09-10) problema "é qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-lo". O autor ainda complementou, ao direcionar o conceito para a área matemática, que problema matemático "é qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-la.

Toledo (2006) mostra que um problema matemático é toda e qualquer situação onde é requerida uma descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que está tentando resolvê-lo. O ponto principal é que a pessoa que vai resolver um problema terá de descrever estratégias novas, percorrer novos caminhos, ela até pode conhecer os objetivos a serem alcançados, mas desconhece os meios para alcançar tais objetivos.

Lester apud Pozo (1994, p. 15) define problema como "uma situação que um indivíduo ou um grupo quer ou precisa resolver e para a qual não dispõe de um caminho rápido e direto que o leve à solução".

Nessa perspectiva Toledo (2006, p.5) mostra algumas características dos problemas:

·O caminho da resolução é desconhecido;

·Precisam ser analisados de varias formas diferentes, ou seja, esgotar todas as suas possibilidades;

·Exigem paciência, pois devemos analisar até descobrirmos padrões, regularidades que permitam traçar estratégias de resolução;

·Pode conter informações ocultas, que só percebermos se analisarmos corretamente as informações dadas;

·Não têm uma resposta única: podemos nos deparar com situações em que existam várias maneiras de resolver o mesmo problema, outras em que não exista uma melhor solução ou até mesmo encontrar problemas sem solução, pois resolver um problema não é a mesma coisa de identificar somente a resposta.

Diante desses conceitos pode-se definir um problema como uma situação em que temos que construir um processo de resolução e não conhecemos o caminho a ser trilhado. De outra forma não seria um problema, mas sim a aplicação de conhecimentos previamente conhecidos.

2.2 Diferença entre problema e exercício.

Uma situação somente pode ser concebida como um problema na medida em que exista um reconhecimento dela como tal, e na medida em que não disponhamos de procedimentos automáticos que nos permitam solucioná-la de forma mais ou menos imediata, sem exigir, de alguma forma, um processo de reflexão ou uma tomada de decisões sobre a seqüência de passos a serem seguidos. Esta última característica seria a que diferenciaria um verdadeiro problema de situações similares, como podem ser os exercícios. Dito de outra forma, um problema se diferencia de um exercício na medida em que, neste último caso, dispomos e utilizamos mecanismos que nos levam, de forma imediata, à solução.

Por isso, é possível que uma mesma situação represente um problema para uma pessoa enquanto que para outra esse problema não existe, quer porque ela não se interesse pela situação, quer porque possua mecanismos para resolvê-la com investimento mínimo de recursos cognitivos e pode reduzi-Ia a um simples exercício.

Nessa mesma linha de pensamento Pozo (1994, p. 16) cita exemplos de problemas e exercícios

[...] consertar um circuito elétrico é um simples exercício para algumas pessoas, mas um problema complexo e trabalhoso para outras. Da mesma forma, interpretar a informação contida num gráfico ou isolar uma incógnita numa equação matemática pode re­presentar um problema, um exercício, ou nenhuma das duas coisas, para alunos com diferentes conhecimentos e atitudes.

Além de conceber a distinção entre exercícios e problemas como algo relacionado com o contexto da tarefa e com o aluno que a enfrenta, é importante agora especificar a relação existente, do ponto de vista da aprendizagem, entre a análise de um exercício e a resolução de um problema para uma visão mais geral dos processos de aprendizagem envolvidos na aquisição de habilidades e estratégias.

De forma sintética, pode-se dizer que a realização de exercícios se baseia no uso de habilidades ou técnicas sobreaprendidasou seja, transformadas em rotinas automatizadas como conseqüência de uma prática contínua. Limitamo-nos a exercitar uma técnica quando enfrentamos situações ou tarefas já conhecidas, que não representam nada de novo e que, portanto, podem ser resolvidas pelos caminhos ou meios habituais (POZO & POSTIGO, 1993).

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Assim, um problema é de certa forma, uma situação nova ou diferente do que já foi aprendido, que requer a utilização estratégica de técnicas já conhecidas.

Conforme já foi colocado, não é possível determinar, em geral, se uma tarefa escolar determinada é um exercício ou um problema; isto depende não somente da experiência e dos conhecimentos prévios de quem a executa, mas também dos objetivos que estabelece enquanto a realiza. Quando a prática nos proporcionar a solução direta e eficaz para a solução de um problema, escolar ou pessoal, acabaremos aplicando essa solução rotineiramente, e a tarefa servirá, simplesmente, para exercitar habilidades já adquiridas.

É muito comum a dúvida entre a diferença de problemas e exercícios. Dante (1998, p. 43) salienta que é preciso fazer clara distinção entre o que é um exercício e o que é um problema. "Exercício, como o próprio nome diz, serve para exercitar, para praticar um determinado algoritmo ou processo. O aluno lê o exercício e extrai as informações necessárias para praticar uma ou mais habilidades algorítmicas".

Pode-se dizer então que os exercícios são atividades em que aplicamos conhecimentos ou habilidades já conhecidos, ou seja, apenas utilizamos conhecimentos prévios para resolver situações semelhantes às que foram apresentadas anteriormente na ocasião do aprendizado. Exercícios envolvem apenas a reprodução de situações de aprendizagem já fixadas, enquanto o problema exige o desenvolvimento de novos caminhos.

Conforme mostra Dante (1998, p. 43) "Problema é a descrição de uma situação onde se procura algo desconhecido e não se tem previamente nenhum algoritmo que garanta sua solução. A resolução de um problema exige certa dose de iniciativa e criatividade aliada ao conhecimento de algumas estratégias".

2.3 Os tipos de problema

Existem inúmeras classificações das possíveis estruturas dos problemas tanto em função da área à qual pertencem e do conteúdo dos mesmos como do tipo de operações e processos necessários para resolvê-los, ou de outras características.

Moura et al (2007) classifica os tipos de problemas em: problema-processo, problema do cotidiano, problema de lógica, problema recreativo e problema-padrão.

Dante (1998, p. 17) define problema-processo

São problemas cuja solução envolve operações que não estão contidas no enunciado. Em geral, não podem ser traduzidos diretamente para a linguagem matemática, nem resolvidos pela aplicação automática de algoritmos, pois exigem do aluno um tempo para pensar e arquitetar um plano de ação, uma estratégia que poderá levá-lo à solução.

Os problemas-processocaracterizam-se por terem como objetivo desencadear a aprendizagem da matemática, privilegiar os processos, a investigação, o raciocínio. Podemos citar como exemplos de problema-processo, aqueles provenientes das Histórias Virtuais conforme salienta (MOURA et al, 2007).

Moura & Lanner de Moura (1998, p. 14). caracterizam a história virtual por

uma situação-problema vivida por algum personagem, dentro de uma história. Esta, por sua vez, revela uma semelhança com algum problema vivido pela humanidade. A história virtual é, portanto, uma situação-problema que poderia ser vivida pela humanidade em algum momento. Por isso, ela é virtual: é como se fosse a situação real.

A história virtual do conceito possibilita ao aluno a necessidade de primeiro compartilhar saberes com colegas e professores para depois se apropriar como um saber individual. Por isso, ao propor a resolução de um problema que tem por base uma lenda, mito ou outra história qualquer, a criança atribui significados e/ou sentidos ao conceito matemático tratado, sendo a resolução compartilhada e negociada no grupo. Naquele momento, isso é importante, pois na ação coletiva da turma as discussões suscitam relações, conceitos e ideologias.

Nesse sentido, Libâneo (2004) salienta que o contar e ouvir histórias são entendidos como atividade, pois se relaciona às necessidades que impulsionam os motivos, levando os alunos ao objetivo de resolver o problema do personagem da história, colocando diferentes operações em movimento. O contexto da história representa uma das condições concretas da atividade que determinarão as operações vinculadas a cada ação.

Sendo assim o professor pode analisar como cada sujeito diante da história contada/ouvida colocou em movimento o sentido da palavra e dos objetos para a resolução do problema do personagem.

Dante (1998) ainda menciona que os problemas-processo aguçam a curiosidade do aluno e permitem que ele desenvolva sua criatividade, sua iniciativa e seu espírito explorador. E, principalmente, iniciam o aluno no desenvolvimento de estratégias e procedimentos para resolver situações-problema, o que, em muitos casos, é mais importante que encontrar a resposta correta.

Esse tipo de problema dá margem a vários enfoques e maneiras para se chegar à solução. O aluno precisa pensar, elaborar um plano, tentar uma estratégia de acordo com sua intuição, testar essa estratégia e verificar se chegou à solução correta. Para isso, ele usa uma grande variedade de processos de pensamento.

A preocupação em valorizar o processo também é uma característica dos problemas do cotidiano.Os problemas que enfatizam o cotidiano são chamados de problemas reais por Varizo (1993), porque surgem do contexto sócio-cultural em que a criança está inserida ou se assemelham às situações vivenciadas por ela.

São aqueles que retratam situações reais do dia-a-dia e que exigem o uso da Matemática para serem resolvidos. São também chamados de situações-problema.Através de conceitos, técnicas e procedimentos matemáticos procura-se matematizar uma situação real, organizando os dados em tabelas, traçando gráficos, fazendo operações etc. Em geral, são problemas que exigem pesquisa e levantamento de dados. Podem ser apresentados em forma de projetos a serem desenvolvidos usando conhecimentos e princípios de outras áreas que não a Matemática, desde que a resposta se relacione a algo que desperte interesse (DANTE, 1998, p. 20).

Os problemas que emergem do cotidiano envolvem o aluno desde a própria configuração do problema até a sua resolução. Geralmente a resolução do problema requer investigação e o envolvimento com outras áreas do conhecimento, o que possibilita ao aluno uma visão menos fragmentada da realidade. São também denominados de problemas de ação, por estarem diretamente ligados à nossa vida (GONZÁLES, 1995).

Moura et al (2007) salienta que além dos problemas do tipo processo e do cotidiano, o professor pode propor problemas de lógica e problemas recreativos.Os problemas de lógica geralmente se apresentam em forma de textos como histórias e diálogos em que os dados e a solução não são numéricos. Eles propiciam que a criança desenvolva estratégias que favoreçam a leitura e compreensão, o levantamento de hipóteses, a análise dos dados e diferentes registros de resolução. Geralmente, neste tipo de problema as crianças se sentem desafiadas a encontrar a resolução da situação apresentada.

Varizo (1993) menciona que os problemas recreativos são caracterizados como aqueles que envolvem jogos do tipo quebra-cabeças, aspectos históricos curiosos que interessam, intrigam, envolvem e desafiam os alunos. Os problemas recreativos envolvem a criatividade e a possibilidade de encontrar uma ou várias soluções para um único problema, o desenvolvimento de estratégias e diferentes registros.

Dante (1998, p. 21) explica que tais problemas "envolvem e desafiam a maioria dos alunos, [...] e sua solução depende, quase sempre, de um golpe de sorte ou da facilidade em perceber algum truque, que á a chave da solução".

Os mais comuns e também mais conhecidos e desenvolvidos na escola são os problemas-padrão, também denominados problemas convencionais, problema do livro didático, problema rotineiro ou problema trivial. Estes problemas são propostos com freqüência após a explicação das operações aritméticas, a sua resolução envolve a aplicação direta de técnicas e algoritmos que levem ao resultado imediato.

Em relação aos problemas-padrão Dante (1998, p. 17) mostra que

Sua resolução envolve a aplicação direta de um ou mais algoritmos anteriormente aprendidos e não exige qualquer estratégia. São os tradicionais problemas de final de capítulo nos livros didáticos. A solução do problema já está contida no próprio enunciado, e a tarefa básica é transformar a linguagem usual em linguagem matemática, identificando as operações ou algo ritmos necessários para resolvê-lo.

O objetivo desses problemas é recordar e fixar os fatos básicos através dos algo ritmos das quatro operações fundamentais, além de reforçar o vínculo existente entre essas operações e seu emprego nas situações do dia-a-dia. De um modo geral, eles não aguçam a curiosidade do aluno nem o desafiam.

Como o próprio enunciado já apresenta a solução, a criança não sente desejo ou necessidade de resolvê-lo e, além disso, ela não precisa elaborar e desenvolver estratégias e procedimentos de resolução. Este problema é considerado um não-problema, caracteriza-se como um exercício de aplicação ou fixação de técnicas e regras.

Por fim, pode-se dizer que a proposição de bons tipos de problemas é fundamental para que a criança possa construir significativamente os conteúdos matemáticos e desenvolver o raciocínio lógico, a criatividade e a autonomia. No entanto, isoladamente não garantem a qualidade desse processo: a maneira como o problema é proposto, a postura do professor diante dos questionamentos, dos registros, das dificuldades dos alunos e a função da avaliação nesse processo também são aspectos relevantes.

2.4 Os tipos de problema de adição e subtração

Para Rosa Neto (2003) o conceito de adição está implícito na própria noção de número, pois o número é composto de uns. A ação de juntar quantidades participa da construção do número. O conceito de subtração é construído a partir de retirar e associa-se ao conceito de adição a partir da aquisição da reversibilidade. Colocar e retirar são ações opostas.

A classificação dos problemas de adição e de subtração compartilhada pela maioria dos pesquisadores na área distingue quatro tipos diferentes de problemas (CARPENTER & MOSER (1983); RILEY & GREENO & HELLER (1983); VERGNAUD (1983):

1. Problemas de mudança.

Os problemas de mudança são todos aqueles que se caracterizam por um processo de ativamente juntar duas quantidades. Geralmente, dá-se uma quantidade inicial e uma ação direta ou indireta que causa um aumento ou acréscimo dessa quantidade como, por exemplo:

"Paula gosta de criar pintinhos. Ela tinha 12 pintinhos. Sua mãe lhe deu outros 15 pintinhos. Quantos pintinhos Paula tem agora?" O problema apresenta uma quantidade inicial (Paula tinha 12 pintinhos) e se refere a uma ação direta (sua mãe lhe deu outros 15 pintinhos) que causou um aumento naquela quantidade. Outro exemplo, que requer subtração, é o seguinte: "Renato faz coleção de pipas.

Ele tinha 28 pipas. Renato deu a seu primo 12 pipas. Quantas pipas Renato tem agora?" Também nesse segundo exemplo, uma quantidade inicial é dada (28 pipas) e faz-se referência a uma ação (Renato deu 12 pipas), que, ao contrário do problema anterior, causa um decréscimo na quantidade inicial.

2. Problemas de igualização.

Problemas de igualização é uma categoria que envolve a mesma espécie de ação encontrada nos problemas de mudança, mas envolve também uma comparação. Eles envolvem a mudança de uma quantidade para que as duas tenham a mesma quantidade ou tenham o mesmo número de atributos, como no exemplo seguinte:

"Mamãe colheu 23 flores amarelas e 11 flores vermelhas. Quantas flores vermelhas mamãe vai ter de colher para ficar com a mesma quantidade de flores amarelas e vermelhas?"

O problema envolve uma ação (mamãe vai ter de colher mais flores vermelhas) ao mesmo tempo em que exige que uma comparação entre as quantidades de flores amarelas e vermelhas seja estabeleci da (para que se obtenha a mesma quantidade de flores amarelas e vermelhas). Esse tipo de problema pode envolver um aumento na quantidade menor, como é o caso do exemplo dado, ou um decréscimo na quantidade maior, como nesse outro exemplo: "Sandra vendeu 36 laranjas e 21 mangas. Quantas mangas Sandra ainda precisa vender para que tenha vendido a mesma quantidade de laranjas e mangas?"

3. Problemas de comparação.

Os problemas de comparação envolvem a comparação entre duas quantidades e a diferença entre duas quantidades é que deve ser encontrada, como no seguinte caso:

"João tem 25 figurinhas. Carlos tem 12 figurinhas. Quantas figurinhas João tem a mais do que Carlos?" Nessa categoria, estão também os problemas em que se conhece a diferença entre duas quantidades e uma das quantidades, devendo-se calcular o valor da outra quantidade como no problema: "Na cantina do colégio, tem 32 brigadeiros e 15 docinhos de uva a mais do que a quantidade de brigadeiros. Quantos docinhos de uva tem na cantina?"

4. Problemas de combinação.

Os Problemas de combinação descrevem um relacionamento estético entre uma quantidade e suas partes e incluem casos em que as partes são dadas e o todo é desconhecido, como no exemplo seguinte:

"Na festa da escola, 26 crianças vão dançar e 23 vão cantar. Quantas crianças ao todo se apresentarão na festa da escola?" Nessa categoria, estão também os problemas em que o todo e uma das partes são conhecidos e deve-se calcular o valor da outra "parte", que é desconhecida, como neste outro exemplo:

"Rita e Laura têm juntas 47 bonecas. Rita tem .22 bonecas. Quantas bonecas Laura tem?"

Para cada uma das quatro categorias acima existem três tipos diferentes de problemas determinados por qual dos três elementos é o elemento desconhecido. Embora a ação em uma classe de problemas seja a mesma, dependendo de quais quantidades são conhecidas e qual é desconhecida, eles se tornarão muito diferentes, exigindo diferentes métodos de resolução e, conseqüentemente, apresentando diferentes níveis de dificuldade. Os três problemas seguintes exemplificam, para os problemas de mudança (a primeira categoria descrita acima), como o problema muda dependendo de qual é o elemento desconhecido.

Problema 1: "Juquinha tinha algumas figurinhas. Carlos lhe deu 25 figurinhas. Juquinha tem agora 79 figurinhas. Quantas figurinhas o Juquinha tinha antes?"

Problema 2: "Juquinha tinha 54 figurinhas. Carlos lhe deu algumas figurinhas. Juquinha tem agora 79 figurinhas. Quantas figurinhas o Carlos deu a Juquinha?"

Problema 3: "Juquinha tinha 54 figurinhas. Carlos lhe deu 25 figurinhas. Quantas figurinhas o Juquinha tem agora?"

O elemento desconhecido no primeiro problema é o estado inicial (quantas figurinhas Juquinha tinha antes); no segundo problema, desconhece-se a transformação (quantas figurinhas Carlos deu a Juquinha) e, no terceiro problema, a quantidade desconhecida é o estado final (quantas figurinhas o Juquinha tem agora). Para resolver cada um dos problemas, a criança jovem geralmente recorre à representação direta da seqüência de informações contidas no problema. Por exemplo, para o problema 3, a criança identifica e representa a primeira série (54 figurinhas), representa e acrescenta a segunda série (25 figurinhas) e obtém o resultado por contagem ou pela operação de adição. Mas, para resolver o problema 1, por exemplo, muitas crianças têm dificuldade em representar as quantidades envolvidas, porque o estado inicial é desconhecido e, conseqüentemente, o problema não pode ser representado diretamente (CARPENTER & MOSER, 1985).'

3ESTRATÉGIAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA MATEMÁTICA ESCOLAR

Para Musser & Shaughnessy (1997) a resolução de problemas muitas vezes tem desempenhado um papel secundário no currículo de matemática, calcado fortemente no conteúdo e dirigido acentuadamente para as habilidades. Mesmo quando os problemas assumem um papel central num curso, é raro discutir-se a essência mesma do processo de resolução de problemas - as estratégias: Acreditamos que o currículo de matemática deveria basear-se mais em estratégias do que em conteúdo.Os alunos poderiam aprender primeiro muitas das estratégias de resolução de problemas envolvendo o conteúdo de uma área particular, digamos, matemática, para só mais tarde, então, tomar conhecimento de como essas estratégias se generalizam quando cruzam com outras áreas do conhecimento, como física, biologia, política e economia.

Musser & Shaughnessy (1997, p. 189) mostram que se adotarmos um ponto de vista baseado em estratégias, teremos de nos haver com algumas questões críticas:

"1) Que técnicas empregaremos na resolução de problemas?

2) Que estratégias de resolução de problemas empregaremos na matemática escolar?

3) De que maneira poderemos incentivar a resolução de problemas na sala de aula?"

Neste trabalho, sugerem-se algumas estratégias de resolução de problemas que poderiam ser incorporadas ao currículo, objetivando ajudar no ensino de resolução de problemas em sala de aula. Além disso, propõem-se alguns meios para o ensino de resolução de problemas.

3.1 Etapas de resolução de problemas, segundo Polya

Procurando organizar um pouco o processo de resolução de problemas, Polya (1977) o dividiu em quatro etapas. É importante ressaltar que Polya nunca pretendeu que a sua divisão correspondesse a uma seqüência de etapas a serem percorridas uma depois da outra sem que nunca seja conveniente ou necessário voltar atrás ou que a sua divisão funcionasse como uma poção mágica' para resolver problemas matemáticos.

Nessa mesma linha de pensamento Dante (1998, p. 22-23) explicou que

É claro que essas etapas não são rígidas, fixas e infalíveis. O processo de resolução de um problema é algo mais complexo e rico, que não se limita a seguir instruções passo a passo que levarão à solução, como se fosse um algoritmo. Entretanto, de um modo geral elas ajudam o solucionador a se orientar durante o processo.

Vejamos com mais detalhes cada uma dessas etapas, já aplicadas a um exemplo de problema-padrão considerado bastante simples.

Exemplo:

Pedro e José possuem juntos, 36 figurinhas. Pedro possui 6 figurinhas a mais que José. Quantas figuras têm cada um?

1ª etapa:compreensão do problema

Antes de começar a resolver o problema, precisamos compreendê-lo. Para isso, deve-se responder questões como:

a) O que se pede no problema?

O que se procura no problema?

O que se quer resolver no problema?

O que o problema está perguntando?

No exemplo acima, o que se pergunta é; Quantas figurinhas te Pedro? E José?

Resolver o problema significa encontrar as respostas para essas perguntas.

b) Quais são os dados e as condições do problema?

O que está dito no problema e que podemos usar?

Os dados e as condições que possuímos, e que podemos usar na resolução do problema, conforme o exemplo são:

Pedro e José possuem figurinhas.

Os dois juntos têm 36 figurinhas.

Pedro tem 6 figurinhas a mais que José ou José tem 6 figurinhas a menos que Pedro.

c) É possível fazer uma figura da situação?

2ª etapa: construção de uma estratégia de resolução

Nesta etapa elabora-se uma estratégia de ação para resolver o problema, fazendo a conexão entre os dados do problema e o que ele pede. Muitas vezes chega-se a uma situação matemática, isto é, a uma linguagem matemática partindo da linguagem usual.

Algumas perguntas que se pode fazer nessa fase são:

a) Você já encontrou este problema ou um parecido?

b) Você conhece um problema semelhante?

c) É possível colocar as informações numa tabela de depois fazer um gráfico ou diagrama?

d) è possível resolver o problema por partes?

e) È possível traçar um ou vários caminhos em busca da solução?

Enfim é preciso elaborar um plano para resolver o problema. No exemplo citado, pode-se traçar várias estratégias ou planos, que levarão à solução do problema por vários caminhos.

3ª etapa: executando a estratégia

Freqüentemente, esta é a etapa mais fácil do processo de resolução de um problema. Contudo, a maioria dos principiantes tende a pular esta etapa prematuramente e acabam se dando mal. Outros elaboram estratégias inadequadas e acabam se enredando terrivelmente na execução e, deste modo, acabam sendo obrigados a voltar para a etapa anterior e elaborar uma nova estratégia. Ao executar a estratégia, verifique cada passo. Você consegue mostrar que cada um deles está correto?

4ª etapa: revisando a solução

Você deve examinar a solução obtida, verificando os resultados e os argumentos utilizados. Você pode obter a solução de algum outro modo? Qual a essência do problema e do método de resolução aplicado? Em particular, você consegue usar o resultado, ou o método em algum outro problema? Qual a utilidade deste resultado?

Dante (1998) mostra que a revisão pode repassar todo o problema e isso faz com que o aluno reveja como pensou inicialmente, como encaminhou uma estratégia de solução, como efetuou os cálculos, enfim, todo o caminho percorrido para obter a solução. O autor salienta que esse processo cuidadoso é um excelente exercício de aprendizagem e serve também para detectar e corrigir possíveis enganos.

3.2 A importância de revisar a solução

Conforme vimos anteriormente, Polya (1977) dividiu o processo de resolução de problemas matemáticos em quatro etapas: entendimento do problema, invenção de estratégia de resolução, execução e revisão. A revisão da solução é a etapa mais importante segundo Polya, pois esta etapa propicia uma depuração e uma abstração da solução do problema:

Depuração: o objetivo é verificar a argumentação usada, procurando simplificá-la; pode-se chegar ao extremo de buscar outras maneiras de resolver o problema, possivelmente mais simples, mas menos intuitivas e só agora acessíveis ao resolvedor. Há uma crítica generalizada aos matemáticos pesquisadores por publicarem demonstrações muito artificiais ou abstratas e que certamente não representam a maneira como o resultado em demonstração foi descoberto. Contudo, é inegável que a revisão de depuração é muito proveitosa.

Abstração: agora, o objetivo é refletir no processo de resolução procurando descobrir a essência do problema e do método de resolução empregado; tendo-se sucesso nessa empreitada, poder-se-á resolver outros problemas mais gerais ou de aparência bastante diferente. Ela representa a possibilidade de aumento do 'poder de fogo' do resolvedor. Feito por um matemático talentoso, esse trabalho de abstração representa a possibilidade de fertilização da Matemática.

Observamos que na Educação Básica existem ao menos caricaturas das três primeiras etapas de Polya, mas nada no que toca à etapa da revisão. Os professores ou ignoram essa importante etapa ou alegam que a mesma é inviável de trabalhar face à falta de tempo, dificuldade de testar, frustração dos alunos, etc.

REFERÊNCIAS

ANDRADE, S. Ensino-Aprendizagem de Matemática via resolução, exploração, codificação e descodificação de problemas. Rio Claro, 1998. Dissertação (Mestrado) - Universidade Estadual paulista.

CARPENTER, T. & MOSER, J. The development of addition and subtraction problem solving skills. In: T. Carpenter, J. Moser e T. Romberg (orgs.). Addition and Subtraction: A cognitive perspective.Nova York: Academic Press, 1983.

______________ The acquisition of addition and subtraction concepts. In: R. Lesh & M. Landau (orgs.). Acquisition of mathematics concepts and processes.Nova York: Academic Press. 1985.

DANTE, Luiz Roberto. Didática da resolução de problemas de matemática. São Paulo: Ática, 1998.

______________ Didática da resolução de problemas de matemática. São Paulo: Ática, 1991.

FIORENTINI, D. Rumos da pesquisa brasileira em Educação Matemática: o caso da produção científica em cursos de pós-Graduação. Campinas, 1994. Tese (Doutorado) - Faculdade de Educação - Unicamp.

GAZIRE, E. S. Resolução de Problemas: perspectivas em Educação Matemática. Rio Claro, 1989. Dissertação (Mestrado) - Universidade Estadual Paulista.

GONZÁLEZ, F. Comunicação e desenvolvimento da personalidade. Havana: Editorial Educação Puebloy. 1995

LA TAILLE. Yves. Educação. Mais - Folha de São Paulo, 13 de abril de1997.

LIBÂNEO, José Carlos. A didática e a aprendizagem do pensar e do aprender: a Teoria

Histórico-cultural da Atividade e a contribuição de VasiliDavydov. Revista Brasileira

de Educação. Universidade Católica de Goiás. nº 27 Set/Out/Nov/Dez, 2004, p. 05-24.

MINISTÉRIO de Educação e do Desporto, secretaria de Educação Fundamental. "Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) - Matemática - Terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental" - Brasília, 1998.

MOURA, Manoel Oriosvaldo de; LANNER de MOURA, Anna Regina. Escola: Um

Espaço Cultural. Matemática na Educação Infantil: Conhecer, (re)criar - Um

modo de lidar com as dimensões do mundo. São Paulo: SECEL, 1998.

NATIONAL Council of Teachers of Mathematics. An Agenda for Action: Recommendations for School Mathematics of the 1980's. Reston, VA-USA, 1980.

ONUCHIC, Lourdes de la Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V.(Org.). Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: Editora UNESP, 1999. p.199-220.

POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro, Interciência, 1977.

POLYA, G. Machematical Discovery: On Understanding, Learning and Teaching problem Solving. New York: john Willey & Sons, 1965. v.2.

POLYA, G. A arte de resolver problemas. Primeira reimpressão. Tradução e adaptação de Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciências, 1986.

PUTNAN, R. T., HEATON, R. M., PRAWAT, R, S" REMILLARD,j. Teaching MathemiJtics for Understanding: Discussing case stUdies of four fifth-grade teuctlers. ll1e Elemenwry 5cl1001 journa/. The University of Chicago, v.93, n.2, 1992.

RILEY, M.S. & GREENO, J.G & HELLER, J.I. Development of children's problem solving ability in arithmetic. ln: H.P. Cinsburg (org.). The development of mathematical thinking.Nova York: Academic Press. 1983.

ROSA NETO, Ernesto. Didática da matemática. São Paulo: Ática, 2003.

SClIROEDER, T. L, LESTER jr., F. K. Developing Understanding in MiJthemutics viu rroblem Solving. TRAFTON, P. R.. SHULTE, A. P. (Ed.) New Directions for Elemenrary 5cl1001 fv1achematics. Nationul Council of Teuchers of Muthemutics, 1989, (Year Book).

STANIC. G. M. A., KILPATRICK, J. Historical Perspectives on problem Solving in lhe Mathematics Curriculum. CHARLES, R. I., SILVER, E. A, (Ed.) The Teaching and Assessing of fv1achemacica/ Problem Solving. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. 1990. p.1-22.

TOLEDO, Maria Aparecida. Solução de problemas na Matemática: Um estudo de um modelo para solução de problemas matemáticos. São Paulo:UNIMESP, 2006.

VARIZO, Zaíra da C. Melo. O ensino da matemática e a resolução de problemas. Inter-ação, Fac. Educação – UFG, 17(1-2), jan/dez, 1993.