Modelagem Matemática no Ensino
Publicado em 24 de junho de 2011 por Fabio Espindola Cozza
MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO
Fabio Espindola Cozza*
[email protected]
Luciano Sant?Ana Agne*
[email protected]
Mestrandos do Programa de Educação em Ciências e Matemática - PUCRS
Resumo
Este trabalho objetivou fazer uma comparação de artigos científicos de alguns autores sobre Modelagem no ensino de Matemática, publicadas em anais de eventos Nacionais e buscamos identificar o uso da Modelagem Matemática (MM) como método de ensino. A pesquisa foi dividida em três etapas: a fundamentação e o estudo de Modelagem Matemática, a busca de produções de MM em eventos Nacionais, análise dos dados. Utilizou-se amostra de nove produções de MM sobre Ensino Médio e Fundamental, organizando-as em práticas de sala de aula e ensaios teóricos. . Após a análise dos referidos artigos, concluiu-se que a Modelagem Matemática por ser um método de ensino totalmente flexível que valoriza a exploração, investigação a análise de dados, aliada a introdução do conteúdo Matemático contextualizado, em uma situação problema, pode favorecer o aluno a desenvolvimento e reconstrução de sua própria aprendizagem de forma ativa, como sujeito que pode interferir na sua realidade com criticidade. Porém ainda existem preocupações com a implantação deste método nas escolas.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Ensino.
1. Introdução
A Modelagem Matemática no ensino passou a ter mais importância no Brasil a partir da década de 1970. As primeiras propostas de Modelagem Matemática no ensino surgiram de professores de Engenharia e Matemática aplicada, com a intenção de fazer com que seus alunos identificassem a aplicabilidade dos seus conceitos nas Ciências e Engenharia. Conforme Biembengut (2009, p. 12), no Brasil um dos primeiros precursores da introdução de Modelagem Matemática em suas aulas de Calculo diferencial e Integral foi o Professor Aristides Camargo Barreto, da PUC do Rio de Janeiro, na década de 1970 e 1980. Seguindo esses passos, o Professor Rodney Bassanezi, da Unicamp de Campinas, e seus orientandos, consolidaram a difusão da Modelagem no país. Já a nível internacional o Professor David Burghes do Reino Unido, utilizava a Modelagem em suas aulas e desenvolvia projetos com Professores de Ensino Médio, com a finalidade de produzir novos materiais para modelagem.
O movimento dos precursores em Modelagem Matemática desencadeou uma série de pesquisas, e novos teóricos surgiram. Esses teóricos impulsionaram o desenvolvimento dessa nova área de pesquisa, e a Modelagem Matemática tornou-se importante para Educação.
Dessa maneira, este estudo vem em busca de uma alternativa de aprendizagem matemática que atenda as necessidades dos professores e dos alunos. Esta busca se justifica, pois é sabido que as escolas nem sempre possuem todos os recursos didáticos necessários para o desenvolvimento de uma aprendizagem plena e satisfatória. Segundo Biembengut (2011), "a Modelagem Matemática é um método no qual se ensina o conteúdo matemático a partir da descrição, formulação e resolução de situações problemas de alguma área do conhecimento de interesse do aluno." Assim, Modelagem Matemática é um método de ensino via pesquisa que permite que o professor realize o seu trabalho com os recursos que dispõe e com um pouco de criatividade e muito conhecimento matemático.
Assim, o presente trabalho, se constitui numa pequena pesquisa bibliográfica que não pretende esgotar o tema, mas apenas tecer alguns comentários acerca do assunto. Apresentamos nesse trabalho uma análise de alguns artigos de autores renomados na área, com o objetivo de promover um melhor entendimento sobre Modelagem Matemática no ensino e, quem sabe, ajudar a promover esta nova maneira de desenvolver a aprendizagem em matemática.
2. Procedimentos metodológicos
Os aspectos relacionados às questões pesquisadas partem do estudo teórico sobre Modelagem Matemática no Ensino e suas de informações relevantes de 9 artigos. Aos quais, estudamos os objetos de pesquisa, os objetivos, procedimentos metodológicos e os resultados obtidos com as investigações dos autores. Tratou-se de uma pesquisa documental, pois as fontes são artigos que tratam de Modelagem Matemática no Ensino, apresentados por meio de comunicação de pesquisa científica ou relato de experiência e publicados em anais de congressos ou em revistas cientificas. O trabalho teve três fases distintas.
Na primeira fase, procedemos a fundamentação e o estudo da Modelagem Matemática no ensino e sobre aprendizagem por meio de diversas leituras de livros para fundamentar a questão estudada como base para o entendimento sólido acerca do assunto.
Na segunda fase procedemos a busca de artigos de autores com trabalhos significativos sobre o tema. Neste momento foram lidos mais de trinta artigos para processar a seleção.
Na terceira etapa foi construída um quadro comparativo entre os trabalhos selecionados com o objetivo de analisá-los. Este quadro permitiu um estudo mais aprofundado em função da comparação entre os trabalhos elencados. Com isto foi possível perceber o conhecimento que os autores possuem sobre Modelagem Matemática no ensino e seu uso como método de ensino e pesquisa em matemática na sala de aula.
3. Referencial Teórico
Precisar o momento exato em que as discussões sobre modelagem matemática emergiram no Brasil é uma tarefa complexa. No entanto, considerando que modelo matemático é definido por Biembengut (2009, p.12) como "um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um fenômeno em questão ou problema de situação real," é possível verificar que o seu uso tem se manifestado desde os tempos mais remotos através de situações isoladas e pouco sistematizadas. A invenção da roda pelos sumérios no ano 3000 a.c. é considerada um dos primeiros modelos matemáticos produzidos pela humanidade.
Essa manifestação ocorreu também através dos grandes cientistas que produziram famosos modelos ao longo da história, como Erastóstenes (276 ? 196 a.C.) que criou um modelo matemático para medir a circunferência da Terra.
Segundo, D?Ambrosio (2002) "[...] o ciclo de aquisição de conhecimento é deflagrado a partir da realidade, que é plena de fatos." (p.30). Uma das tendências que torna possível essa interação da matemática com a realidade é a modelagem na qual se torna uma ferramenta muito eficaz.
A modelagem matemática pode ser entendida como uma abordagem de um problema não matemático por meio da matemática onde as características pertinentes de um objeto são extraídas com a ajuda de hipóteses e aproximações simplificadoras e representações em termos matemáticos são determinadas. No entanto a modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem oferece contribuições que vão além da possibilidade de interação da matemática com a realidade. (ALMEIDA, 2003)
Ao sugerir o uso da modelagem matemática em sala de aula, Blum (1991), defende que as aplicações constituem fonte de reflexão e são componentes fundamentais para uma visão mais ampla da matemática. Nesse sentido, o que se espera é que a interação entre a realidade (aquilo que faz sentido para o aluno) e a matemática, proporcione uma reflexão, levando a conscientização do lugar e o papel da matemática na sociedade.
O processo na qual estão passando a escola e a sociedade tem seus objetivos na formação do aluno de forma integral, não somente preocupado na comprovação de resultados, mas consciente do seu papel de agente de transformação social, capaz de intervir no processo.
Portanto é necessário que a aula de matemática proporcione ao aluno o desenvolvimento de sua capacidade reflexiva. Neste sentido, a modelagem matemática serve como ferramenta importante para que seja alcançado este objetivo.
Diante das exigências cada vez maiores da realidade da vida moderna, chamada de globalização, se faz necessário que a educação forme sujeitos mais preparados para enfrentar a competição decorrente deste fato atual e ao mesmo tempo histórico. Conforme Vygottski (1998), o aprendizado das pessoas é fruto das suas interações com o meio, e é assim que se formam as pessoas durante toda a história. Porém um sujeito crítico não surge naturalmente, precisa ser formado. Essa formação passa pela escolha de um modelo de ensino que priorize a aprendizagem com significado e não a cópia de conteúdos matemáticos. Para Ausubel (1980) a aprendizagem só é significativa quando leva em conta a bagagem cognitiva do aluno.
Ainda amparados em Vygottski (1998), podemos afirmar com segurança que a escola tem papel fundamental neste processo, pois oportuniza todas as condições para desenvolver pensamentos específicos, como os pensamentos ligados ao desenvolvimento dos conceitos científicos. A escola tem condições de promover o desenvolvimento do pensamento científico e matemático por meio das experiências culturais e da apropriação do pensamento conceitual, fazendo com que o aluno avance em sua compreensão do mundo a partir de seu desenvolvimento já consolidado, tendo como meta etapas posteriores, ainda não alcançadas.
Para Demo (2000), a educação deve ser definida como um processo de formação e aperfeiçoamento da competência humana enquanto sujeito histórico transformador de sua realidade. Com isto, é de suma importância que a relação estabelecida em sala de aula seja questionadora, para que se consiga uma formação de sujeitos competentes e capazes de reconstruir a sua realidade e os seus próprios conhecimentos.
Onde não aparece o questionamento reconstrutivo, não emerge a propriedade educativa escolar. Entretanto, não se pode reduzir o questionamento reconstrutivo a simples competência formal de aprendizagem, mas é crucial compreendê-lo como processo de construção do sujeito histórico que se funda na competência advinda do conhecimento inovador, mas implica na mesma matriz, a ética da intervenção histórica. (Demo, 2000, p.7)
Neste contexto, a Modelagem no Ensino de matemática vem se tornando um poderoso instrumento nas mãos de professores e de alunos que se interessam por se tornarem sujeitos de um mundo globalizado que exige cada vez mais competências e habilidades diferenciadas.
Enfim, como diz Demo (2000), "educação é um processo de formação da competência humana", e ensinar matemática baseado na Modelagem é promover uma postura de questionamento reconstrutivo, ou seja, aluno e professor assumem uma postura questionadora frente aos conceitos estudados, reconstruindo o seu aprendizado na medida em que cada assunto passa a ter significado dentro das realidades dos sujeitos envolvidos.
4. O que é Modelagem no Ensino de Matemática
A Modelagem Matemática (MM) não é uma novidade deste Século, pois desde os tempos mais remotos o indivíduo procura resolver os problemas de sua existência com os recursos que o próprio meio em que vive oferece, buscando para isso conhecê-lo e compreendê-lo. Nos últimos trinta anos, o assunto teve grande destaque no meio acadêmico, e tem sido fator de muita pesquisa. Conforme a análise discursiva de alguns autores conceituados no assunto, podemos definir Modelagem Matemática segundo suas perspectivas.
Para BIEMBENGUT (1997), Modelagem Matemática é o processo envolvido na obtenção de um modelo. Podendo, sob alguns aspectos, ser considerado um processo artístico, pois para elaborar um modelo, além de conhecimento apurado de Matemática, o modelador deve ter uma dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e senso lúdico para jogar com as variáveis envolvidas. A autora complementa afirmando que a Modelagem Matemática no ensino é um método no qual se ensina o conteúdo matemático programático a partir da descrição, formulação e resolução de situações problemas de alguma área do conhecimento de interesse dos estudantes. Como neste método os estudantes despendem mais tempo para entender, refletir, formular e resolver uma situação problema proposta são essenciais calculadoras e alguns programas computacionais (Biembengut, 2004). ). A autora defende que o processo de transformar uma situação problema real em modelo Matemático está dividido em três etapas:
"Interação"
? Reconhecimento da situação-problema;
? Familiarização com o assunto a ser modelado.
"Matematização"
? Formalização do problema;
? Resolução do problema em termos do modelo.
"Modelo Matemático"
? Interpretação da solução;
? Validação do modelo;
Por outro lado, BASSANEZZI (1994) define Modelagem Matemática como um processo dinâmico que busca modelos adequados, que sirvam de propósito para alguma entidade. Conforme a definição dos dois autores, entendemos a Modelagem Matemática como um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar, investigar, por meio da Matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade.
O uso da Modelagem Matemática como método de ensino pode ser justificado a partir do momento que a modelagem oferece ao aluno amplo espaço para investigação e análise de problemas.
5. Quadro ? Análise dos Artigos.
Título Autores Objeto Objetivo Procedimentos Resultado
Concepções e Tendências de Modelagem Matemática no Ensino Maria Salett
Biembengut Artigos sobre MM publicados em anais de eventos Nacionais. Mapeamento das produções brasileiras de MM na Educação Estudo teórico e pesquisa documental. Os artigos analisados demonstram que os autores acreditam que o uso da MM pode tornar o ensino de Matemática mais interessante.
Modelagem Matemática e Recursos Tecnológicos Maria Salett
Biembengut Uso de computadores e calculadoras no ensino de Matemática Fazer uma reflexão sobre possibilidades e desafios do uso desses recursos. Experiências com grupos de crianças de 3º série, estudantes de Engenharia e professor. As tecnologias contribuem para aguçar a percepção e o entendimento os conceitos, mas não garantem aprendizagem.
Modelagem Matemática e Ensino e aprendizagem de conceitos Matemáticos nos Ensinos Fundamentais e Médio Vilma Candida Bueno e
Frederico da Silva Reis
Modelagem Matemática Processo da criação de um modelo Matemático Mini-curso para criar um Modelo Matemático e aplicar na solução de um problema. O resultado foi o entusiasmo dos participantes ao ver as potencialidades didáticas que podem ser vivenciadas no ensino da Matemática com a Modelagem Matemática nas salas de aula
Modelagem Matemática na Sala de aula Jonei Cerqueira Barbosa Experiências com turma de 7º série Apresentar idéias sobre de MM em sala de aula Analisar as experiências com MM em sala de aula. O autor
faz um convite para debate sobre a prática de MM na educação.
Modelagem Matemática: uma proposta de ensino possível na Escola Pública Nézio Luiz Carminati Modelagem Matemática Aumentar a motivação dos alunos em sala de aula através do uso de MM Análise do projeto de MM aplicado por professores do Estado do Paraná A utilização do processo de MM deve sofrer
algumas alterações.
Modelagem Matemática: o que é? Por quê? Como? Jonei cerqueira Barbosa Modelagem em Sala de aula Integração de MM no currículo escolar Reflexão teórica de MM usando exemplos de sala de aula. As idéias, aqui, postas representam uma sistematização com o fim de nutrir a própria prática.
Modelagem na Educação Matemática: contribuição ao debate teórico Jonei cerqueira Barbosa Estudo da teoria Modelagem Matemática. Apontar a necessidade do uso de MM em sala de aula. Apresentar de maneira sistematizada o esboço da prática de MM em sala de aula, com suas limitações e perspectivas. É preciso aumentar a quantidade de pesquisa em MM.
Modelagem Matemática "Para" sala de aula: uma experiência com professores do Ensino Médio Kécio Gonçalves Leite Curso de MM oferecido a professores. Relatar experiências de professores de rede Estadual do Paraná, participantes do Curso de MM em sala de aula. Análise de relatos dos professores participantes desse curso de MM. A MM passou a ser vista pelos
professores como uma real possibilidade de recurso a ser utilizado em salas de aula.
Uma Proposta de Modelagem Matemática como Estratégia de Ensino Taciana Maciel Baggio Estudo de função através da internet. Sugerir a MM como estratégia de Ensino e Aprendizagem. Abordar o tema "Internet" através de MM. Foi desenvolvido um modelo matemático que permite discutir o conceito de função.
6. Resumo dos artigos
6.1 Concepções e Tendências de Modelagem Matemática no Ensino ?
Maria Salett Biembengut PUCRS
Esse artigo busca fazer o mapeamento das produções brasileiras de Modelagem Matemática (MM) na Educação, publicadas nos anais de eventos Nacionais. Além disso, busca identificar a concepção e a tendência de Modelagem Matemática no Ensino Médio e os autores que trabalham com esse método de ensino. Para realizar esse mapeamento foram utilizados 64 artigos de Modelagem Matemática no ensino médio, os quais trabalhavam praticas em sala de aula e ensaios teóricos. A partir do relato dos autores dos artigos indicam três concepções de MM no ensino: método de ensino e pesquisa, alternativa pedagógica de Matemática e ambiente de aprendizagem. E alem disso, conclui o artigo relatando que, quaisquer que sejam os pontos teóricos em questão, as concepções de MM influenciadas pelas experiências, importam reconhecer que as contribuições positivas como essas levarão a novas tendências, novas concepções, novos conhecimentos.
6.2 Modelagem Matemática e Recursos Tecnológicos ?
Maria Salett Biembengut PUCRS
Esse artigo apresenta uma reflexão sobre possibilidades e desafios da utilização de computadores e calculadoras no ensino de matemática baseada em pesquisa empírica com três grupos: crianças de 3ª série, estudantes de engenharia e professores. Os resultados apresentados na pesquisa indicam que, o uso de recursos tecnológicos propicia novos meios para que os estudantes possam apreciar a explicação do acerto ou erro de problema em questão. A autora conclui o artigo, afirmando que as tecnologias contribuem para aguçar a percepção e o entendimento de novos conceitos pelos alunos, mas isso não garante a aprendizagem de Matemática.
6.3 Modelagem Matemática e Ensino e aprendizagem de conceitos Matemáticos nos Ensinos Fundamentais e Médios.
Vilma Candida Bueno
Frederico da Silva Reis
Esse artigo faz analise do método de ensino Modelagem Matemática em sala de aula, a partir do estudo de um Mini-Curso que trata da criação de um modelo que posteriormente deverá ser aplicado na resolução de problema que originou. O resultado importante do mini-curso foi o entusiasmo dos participantes ao ver as potencialidades didáticas que podem ser vivenciadas no ensino da Matemática com o auxilio da Modelagem Matemática nas salas de aula
6.4 Modelagem Matemática na Sala de aula ?
Jonei cerqueira Barbosa
Esse artigo apresenta algumas idéias teóricas sobre Modelagem Matemática na sala de aula. Dando ênfase a aspectos sócio-culturais, relacionando modelagem com a idéia de problema com referência na realidade. Além disso, o autor discute a integração desse ambiente de aprendizagem no currículo.
6.5 Modelagem Matemática: uma proposta de ensino possível na Escola Pública ?
Nézio Luiz Carminati
O artigo relatar a experiência de professores de rede Estadual do Paraná, participantes do Curso de MM em sala de aula. A análise desse projeto de MM aplicado por professores do Estado do Paraná leva o autor a concluir que a utilização do processo de Modelagem Matemática em sala de aula deve sofrer algumas alterações.
6.6 Modelagem Matemática: o que é? Por quê? Como?
Jonei cerqueira Barbosa
Esse artigo, expõe algumas idéias teóricas sobre Modelagem na perspectiva da Educação Matemática. Usando exemplos de sala de aula e colocando ênfase sobre aspectos sócio-culturais, Modelagem é relacionada a problemas com referência na realidade. A integração de Modelagem no
currículo escolar também é discutida.
6.7 Modelagem na Educação Matemática: contribuição ao debate teórico ?
Jonei cerqueira Barbosa
O artigo é relato do estudo da teoria Modelagem Matemática como método de estudo em sala de aula. O autor apresentar de maneira sistematizada o esboço da prática de MM em sala de aula, com suas limitações e perspectivas. E conclui queé preciso aumentar a quantidade de pesquisa em MM em nosso país.
6.8 Modelagem Matemática "Para" sala de aula: uma experiência com professores do Ensino Médio ?
Kécio Gonçalves Leite
Esse artigo faz estudo das experiências de professores de rede Estadual do Paraná, participantes do Curso de MM em sala de aula. A partir da análise dos relatos dos participantes desse curso de MM, o autor conclui que após o curso a Modelagem Matemática passou a ser vista pelos professores como uma real possibilidade de recurso e metodologia a ser utilizada em salas de aula.
6.9 Uma Proposta de Modelagem Matemática como Estratégia de Ensino ?
Taciana Maciel Baggio
Esse artigo é uma proposta do uso da Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem. É proposta uma atividade de modelagem que viabiliza discutir o conceito de função e sua influência na sociedade. A partir do tema "Internet" é desenvolvido um modelo matemático que permite discutir sobre função. A autora conclui sugerindo o uso da MM como estratégia de Ensino e Aprendizagem.
7. Conclusões
Acreditamos que a utilização de Modelagem Matemática como método de Ensino, extrapole os limites da aula convencional e que esse método torna o aluno sujeito ativo na construção de sua própria aprendizagem. Tornando o Ensino prazeroso tanto para aluno quanto para professor. Por ser uma metodologia de ensino totalmente flexível que valoriza a exploração, investigação a análise de dados, aliada a introdução do conteúdo Matemático contextualizado, em uma situação problema, pode favorecer o aluno a desenvolvimento e reconstrução de sua própria aprendizagem de forma ativa, como sujeito que pode interferir na sua realidade com criticidade.
Contudo, os autores dos artigos analisados também expressam a sua preocupação com as dificuldades encontradas para a implantação do método de Modelagem Matemática no ensino nas escolas Brasileiras.
Referências Bibliográficas
ALMEIDA, L. M. W. e BRITO, D..S. Modelagem matemática na sala de aula: algumas implicações para o ensino e aprendizagem da matemática. Anais do XI CIAEM, Blumenau, SC, 2003.
AUSUBEL, David Paul. NOVAK, Joseph Donald. HANESIAN, Helen. Psicologia Educacional. Trad. Eva Nick. 2ª ed. Rio de Janeiro: Interamericana, 1980.
BIEMBENGUT, M. S. HEIN, N. Modelagem Matemática no Ensino. 5ª ed. São Paulo: Contexto, 2009.
BLUM, W. e NISS, M. Applied mathematical problem solving, modeling, applications and links to other subjects ? State, Trends and issues in Mathematics instruction. Educational Studies in Mathematics, 22()1, pp. 36-38, 1991.
DEMO, Pedro. Educar pela Pesquisa. 4ª Ed. Campinas, SP: Autores Associados, 2000. ? Coleção Educação Contemporânea.
D?AMBROSIO, Ubiratan. A matemática nas escolas. Educação matemática em Revista, ano 9 n 11ª, edição especial, abril de 2002, pp 29-33
VIGOTSKI, Lev Semenovic, A formação social da mente: o Desenvolvimento dos Processos Psicológicos Superiores. Organizadores Michael Cole...(et al.); Tradução José Cipolla Neto, Luís Silveira Menna Barreto, Solange Castro Afache. 6ª ed. São Paulo: Martins Fontes, 1998.
Artigos Analisados
BAGGIO. T. M. Uma Proposta de Modelagem Matemática como Estratégia de Ensino.
BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: O que é? Por que? Como? Veritati, n. 4. P.73-80, 2004.2. Em http://www.uefs.br/nupemm/veritati.pdf. Acesso em 16 de abril de 2011.
BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática na Sala de Aula. Perspectiva, Erechim (RS), v. 27, n. 98, p. 65-74, junho/2003.
BARBOSA, J. C. Modelagem na Educação Matemática: Contribuições para o Debate Teórico. Reunião Anual da ANPED, 24., 2001, Caxambu. Anais... Caxambu: ANPED, 2001.
BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática & Recursos Tecnológicos. PUCRS
BIEMBENGUT, M. S. Concepções e Tendências de Modelagem Matemática na Educação Brasileira. Artigo a ser apresentado em forma de conferência na XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática a ser realizada em junho de 2011. Publicação no prelo. PUCRS
CARMINATI. N. L. Modelagem Matemática: Uma Proposta de Ensino Possível na Escola Pública. PDE 2007. UFTPR
LEITE, K. G. Modelagem Matemática "Para" Sala de Aula: Uma Experiência com Professores do Ensino Médio. UFMT
REIS, F. S. BUENO, V. C. Modelagem Matemática e Ensino e Aprendizagem de Conceitos Matemáticos nos ensinos Fundamental e Médio. UFOP
Fabio Espindola Cozza*
[email protected]
Luciano Sant?Ana Agne*
[email protected]
Mestrandos do Programa de Educação em Ciências e Matemática - PUCRS
Resumo
Este trabalho objetivou fazer uma comparação de artigos científicos de alguns autores sobre Modelagem no ensino de Matemática, publicadas em anais de eventos Nacionais e buscamos identificar o uso da Modelagem Matemática (MM) como método de ensino. A pesquisa foi dividida em três etapas: a fundamentação e o estudo de Modelagem Matemática, a busca de produções de MM em eventos Nacionais, análise dos dados. Utilizou-se amostra de nove produções de MM sobre Ensino Médio e Fundamental, organizando-as em práticas de sala de aula e ensaios teóricos. . Após a análise dos referidos artigos, concluiu-se que a Modelagem Matemática por ser um método de ensino totalmente flexível que valoriza a exploração, investigação a análise de dados, aliada a introdução do conteúdo Matemático contextualizado, em uma situação problema, pode favorecer o aluno a desenvolvimento e reconstrução de sua própria aprendizagem de forma ativa, como sujeito que pode interferir na sua realidade com criticidade. Porém ainda existem preocupações com a implantação deste método nas escolas.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Ensino.
1. Introdução
A Modelagem Matemática no ensino passou a ter mais importância no Brasil a partir da década de 1970. As primeiras propostas de Modelagem Matemática no ensino surgiram de professores de Engenharia e Matemática aplicada, com a intenção de fazer com que seus alunos identificassem a aplicabilidade dos seus conceitos nas Ciências e Engenharia. Conforme Biembengut (2009, p. 12), no Brasil um dos primeiros precursores da introdução de Modelagem Matemática em suas aulas de Calculo diferencial e Integral foi o Professor Aristides Camargo Barreto, da PUC do Rio de Janeiro, na década de 1970 e 1980. Seguindo esses passos, o Professor Rodney Bassanezi, da Unicamp de Campinas, e seus orientandos, consolidaram a difusão da Modelagem no país. Já a nível internacional o Professor David Burghes do Reino Unido, utilizava a Modelagem em suas aulas e desenvolvia projetos com Professores de Ensino Médio, com a finalidade de produzir novos materiais para modelagem.
O movimento dos precursores em Modelagem Matemática desencadeou uma série de pesquisas, e novos teóricos surgiram. Esses teóricos impulsionaram o desenvolvimento dessa nova área de pesquisa, e a Modelagem Matemática tornou-se importante para Educação.
Dessa maneira, este estudo vem em busca de uma alternativa de aprendizagem matemática que atenda as necessidades dos professores e dos alunos. Esta busca se justifica, pois é sabido que as escolas nem sempre possuem todos os recursos didáticos necessários para o desenvolvimento de uma aprendizagem plena e satisfatória. Segundo Biembengut (2011), "a Modelagem Matemática é um método no qual se ensina o conteúdo matemático a partir da descrição, formulação e resolução de situações problemas de alguma área do conhecimento de interesse do aluno." Assim, Modelagem Matemática é um método de ensino via pesquisa que permite que o professor realize o seu trabalho com os recursos que dispõe e com um pouco de criatividade e muito conhecimento matemático.
Assim, o presente trabalho, se constitui numa pequena pesquisa bibliográfica que não pretende esgotar o tema, mas apenas tecer alguns comentários acerca do assunto. Apresentamos nesse trabalho uma análise de alguns artigos de autores renomados na área, com o objetivo de promover um melhor entendimento sobre Modelagem Matemática no ensino e, quem sabe, ajudar a promover esta nova maneira de desenvolver a aprendizagem em matemática.
2. Procedimentos metodológicos
Os aspectos relacionados às questões pesquisadas partem do estudo teórico sobre Modelagem Matemática no Ensino e suas de informações relevantes de 9 artigos. Aos quais, estudamos os objetos de pesquisa, os objetivos, procedimentos metodológicos e os resultados obtidos com as investigações dos autores. Tratou-se de uma pesquisa documental, pois as fontes são artigos que tratam de Modelagem Matemática no Ensino, apresentados por meio de comunicação de pesquisa científica ou relato de experiência e publicados em anais de congressos ou em revistas cientificas. O trabalho teve três fases distintas.
Na primeira fase, procedemos a fundamentação e o estudo da Modelagem Matemática no ensino e sobre aprendizagem por meio de diversas leituras de livros para fundamentar a questão estudada como base para o entendimento sólido acerca do assunto.
Na segunda fase procedemos a busca de artigos de autores com trabalhos significativos sobre o tema. Neste momento foram lidos mais de trinta artigos para processar a seleção.
Na terceira etapa foi construída um quadro comparativo entre os trabalhos selecionados com o objetivo de analisá-los. Este quadro permitiu um estudo mais aprofundado em função da comparação entre os trabalhos elencados. Com isto foi possível perceber o conhecimento que os autores possuem sobre Modelagem Matemática no ensino e seu uso como método de ensino e pesquisa em matemática na sala de aula.
3. Referencial Teórico
Precisar o momento exato em que as discussões sobre modelagem matemática emergiram no Brasil é uma tarefa complexa. No entanto, considerando que modelo matemático é definido por Biembengut (2009, p.12) como "um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um fenômeno em questão ou problema de situação real," é possível verificar que o seu uso tem se manifestado desde os tempos mais remotos através de situações isoladas e pouco sistematizadas. A invenção da roda pelos sumérios no ano 3000 a.c. é considerada um dos primeiros modelos matemáticos produzidos pela humanidade.
Essa manifestação ocorreu também através dos grandes cientistas que produziram famosos modelos ao longo da história, como Erastóstenes (276 ? 196 a.C.) que criou um modelo matemático para medir a circunferência da Terra.
Segundo, D?Ambrosio (2002) "[...] o ciclo de aquisição de conhecimento é deflagrado a partir da realidade, que é plena de fatos." (p.30). Uma das tendências que torna possível essa interação da matemática com a realidade é a modelagem na qual se torna uma ferramenta muito eficaz.
A modelagem matemática pode ser entendida como uma abordagem de um problema não matemático por meio da matemática onde as características pertinentes de um objeto são extraídas com a ajuda de hipóteses e aproximações simplificadoras e representações em termos matemáticos são determinadas. No entanto a modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem oferece contribuições que vão além da possibilidade de interação da matemática com a realidade. (ALMEIDA, 2003)
Ao sugerir o uso da modelagem matemática em sala de aula, Blum (1991), defende que as aplicações constituem fonte de reflexão e são componentes fundamentais para uma visão mais ampla da matemática. Nesse sentido, o que se espera é que a interação entre a realidade (aquilo que faz sentido para o aluno) e a matemática, proporcione uma reflexão, levando a conscientização do lugar e o papel da matemática na sociedade.
O processo na qual estão passando a escola e a sociedade tem seus objetivos na formação do aluno de forma integral, não somente preocupado na comprovação de resultados, mas consciente do seu papel de agente de transformação social, capaz de intervir no processo.
Portanto é necessário que a aula de matemática proporcione ao aluno o desenvolvimento de sua capacidade reflexiva. Neste sentido, a modelagem matemática serve como ferramenta importante para que seja alcançado este objetivo.
Diante das exigências cada vez maiores da realidade da vida moderna, chamada de globalização, se faz necessário que a educação forme sujeitos mais preparados para enfrentar a competição decorrente deste fato atual e ao mesmo tempo histórico. Conforme Vygottski (1998), o aprendizado das pessoas é fruto das suas interações com o meio, e é assim que se formam as pessoas durante toda a história. Porém um sujeito crítico não surge naturalmente, precisa ser formado. Essa formação passa pela escolha de um modelo de ensino que priorize a aprendizagem com significado e não a cópia de conteúdos matemáticos. Para Ausubel (1980) a aprendizagem só é significativa quando leva em conta a bagagem cognitiva do aluno.
Ainda amparados em Vygottski (1998), podemos afirmar com segurança que a escola tem papel fundamental neste processo, pois oportuniza todas as condições para desenvolver pensamentos específicos, como os pensamentos ligados ao desenvolvimento dos conceitos científicos. A escola tem condições de promover o desenvolvimento do pensamento científico e matemático por meio das experiências culturais e da apropriação do pensamento conceitual, fazendo com que o aluno avance em sua compreensão do mundo a partir de seu desenvolvimento já consolidado, tendo como meta etapas posteriores, ainda não alcançadas.
Para Demo (2000), a educação deve ser definida como um processo de formação e aperfeiçoamento da competência humana enquanto sujeito histórico transformador de sua realidade. Com isto, é de suma importância que a relação estabelecida em sala de aula seja questionadora, para que se consiga uma formação de sujeitos competentes e capazes de reconstruir a sua realidade e os seus próprios conhecimentos.
Onde não aparece o questionamento reconstrutivo, não emerge a propriedade educativa escolar. Entretanto, não se pode reduzir o questionamento reconstrutivo a simples competência formal de aprendizagem, mas é crucial compreendê-lo como processo de construção do sujeito histórico que se funda na competência advinda do conhecimento inovador, mas implica na mesma matriz, a ética da intervenção histórica. (Demo, 2000, p.7)
Neste contexto, a Modelagem no Ensino de matemática vem se tornando um poderoso instrumento nas mãos de professores e de alunos que se interessam por se tornarem sujeitos de um mundo globalizado que exige cada vez mais competências e habilidades diferenciadas.
Enfim, como diz Demo (2000), "educação é um processo de formação da competência humana", e ensinar matemática baseado na Modelagem é promover uma postura de questionamento reconstrutivo, ou seja, aluno e professor assumem uma postura questionadora frente aos conceitos estudados, reconstruindo o seu aprendizado na medida em que cada assunto passa a ter significado dentro das realidades dos sujeitos envolvidos.
4. O que é Modelagem no Ensino de Matemática
A Modelagem Matemática (MM) não é uma novidade deste Século, pois desde os tempos mais remotos o indivíduo procura resolver os problemas de sua existência com os recursos que o próprio meio em que vive oferece, buscando para isso conhecê-lo e compreendê-lo. Nos últimos trinta anos, o assunto teve grande destaque no meio acadêmico, e tem sido fator de muita pesquisa. Conforme a análise discursiva de alguns autores conceituados no assunto, podemos definir Modelagem Matemática segundo suas perspectivas.
Para BIEMBENGUT (1997), Modelagem Matemática é o processo envolvido na obtenção de um modelo. Podendo, sob alguns aspectos, ser considerado um processo artístico, pois para elaborar um modelo, além de conhecimento apurado de Matemática, o modelador deve ter uma dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e senso lúdico para jogar com as variáveis envolvidas. A autora complementa afirmando que a Modelagem Matemática no ensino é um método no qual se ensina o conteúdo matemático programático a partir da descrição, formulação e resolução de situações problemas de alguma área do conhecimento de interesse dos estudantes. Como neste método os estudantes despendem mais tempo para entender, refletir, formular e resolver uma situação problema proposta são essenciais calculadoras e alguns programas computacionais (Biembengut, 2004). ). A autora defende que o processo de transformar uma situação problema real em modelo Matemático está dividido em três etapas:
"Interação"
? Reconhecimento da situação-problema;
? Familiarização com o assunto a ser modelado.
"Matematização"
? Formalização do problema;
? Resolução do problema em termos do modelo.
"Modelo Matemático"
? Interpretação da solução;
? Validação do modelo;
Por outro lado, BASSANEZZI (1994) define Modelagem Matemática como um processo dinâmico que busca modelos adequados, que sirvam de propósito para alguma entidade. Conforme a definição dos dois autores, entendemos a Modelagem Matemática como um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar, investigar, por meio da Matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade.
O uso da Modelagem Matemática como método de ensino pode ser justificado a partir do momento que a modelagem oferece ao aluno amplo espaço para investigação e análise de problemas.
5. Quadro ? Análise dos Artigos.
Título Autores Objeto Objetivo Procedimentos Resultado
Concepções e Tendências de Modelagem Matemática no Ensino Maria Salett
Biembengut Artigos sobre MM publicados em anais de eventos Nacionais. Mapeamento das produções brasileiras de MM na Educação Estudo teórico e pesquisa documental. Os artigos analisados demonstram que os autores acreditam que o uso da MM pode tornar o ensino de Matemática mais interessante.
Modelagem Matemática e Recursos Tecnológicos Maria Salett
Biembengut Uso de computadores e calculadoras no ensino de Matemática Fazer uma reflexão sobre possibilidades e desafios do uso desses recursos. Experiências com grupos de crianças de 3º série, estudantes de Engenharia e professor. As tecnologias contribuem para aguçar a percepção e o entendimento os conceitos, mas não garantem aprendizagem.
Modelagem Matemática e Ensino e aprendizagem de conceitos Matemáticos nos Ensinos Fundamentais e Médio Vilma Candida Bueno e
Frederico da Silva Reis
Modelagem Matemática Processo da criação de um modelo Matemático Mini-curso para criar um Modelo Matemático e aplicar na solução de um problema. O resultado foi o entusiasmo dos participantes ao ver as potencialidades didáticas que podem ser vivenciadas no ensino da Matemática com a Modelagem Matemática nas salas de aula
Modelagem Matemática na Sala de aula Jonei Cerqueira Barbosa Experiências com turma de 7º série Apresentar idéias sobre de MM em sala de aula Analisar as experiências com MM em sala de aula. O autor
faz um convite para debate sobre a prática de MM na educação.
Modelagem Matemática: uma proposta de ensino possível na Escola Pública Nézio Luiz Carminati Modelagem Matemática Aumentar a motivação dos alunos em sala de aula através do uso de MM Análise do projeto de MM aplicado por professores do Estado do Paraná A utilização do processo de MM deve sofrer
algumas alterações.
Modelagem Matemática: o que é? Por quê? Como? Jonei cerqueira Barbosa Modelagem em Sala de aula Integração de MM no currículo escolar Reflexão teórica de MM usando exemplos de sala de aula. As idéias, aqui, postas representam uma sistematização com o fim de nutrir a própria prática.
Modelagem na Educação Matemática: contribuição ao debate teórico Jonei cerqueira Barbosa Estudo da teoria Modelagem Matemática. Apontar a necessidade do uso de MM em sala de aula. Apresentar de maneira sistematizada o esboço da prática de MM em sala de aula, com suas limitações e perspectivas. É preciso aumentar a quantidade de pesquisa em MM.
Modelagem Matemática "Para" sala de aula: uma experiência com professores do Ensino Médio Kécio Gonçalves Leite Curso de MM oferecido a professores. Relatar experiências de professores de rede Estadual do Paraná, participantes do Curso de MM em sala de aula. Análise de relatos dos professores participantes desse curso de MM. A MM passou a ser vista pelos
professores como uma real possibilidade de recurso a ser utilizado em salas de aula.
Uma Proposta de Modelagem Matemática como Estratégia de Ensino Taciana Maciel Baggio Estudo de função através da internet. Sugerir a MM como estratégia de Ensino e Aprendizagem. Abordar o tema "Internet" através de MM. Foi desenvolvido um modelo matemático que permite discutir o conceito de função.
6. Resumo dos artigos
6.1 Concepções e Tendências de Modelagem Matemática no Ensino ?
Maria Salett Biembengut PUCRS
Esse artigo busca fazer o mapeamento das produções brasileiras de Modelagem Matemática (MM) na Educação, publicadas nos anais de eventos Nacionais. Além disso, busca identificar a concepção e a tendência de Modelagem Matemática no Ensino Médio e os autores que trabalham com esse método de ensino. Para realizar esse mapeamento foram utilizados 64 artigos de Modelagem Matemática no ensino médio, os quais trabalhavam praticas em sala de aula e ensaios teóricos. A partir do relato dos autores dos artigos indicam três concepções de MM no ensino: método de ensino e pesquisa, alternativa pedagógica de Matemática e ambiente de aprendizagem. E alem disso, conclui o artigo relatando que, quaisquer que sejam os pontos teóricos em questão, as concepções de MM influenciadas pelas experiências, importam reconhecer que as contribuições positivas como essas levarão a novas tendências, novas concepções, novos conhecimentos.
6.2 Modelagem Matemática e Recursos Tecnológicos ?
Maria Salett Biembengut PUCRS
Esse artigo apresenta uma reflexão sobre possibilidades e desafios da utilização de computadores e calculadoras no ensino de matemática baseada em pesquisa empírica com três grupos: crianças de 3ª série, estudantes de engenharia e professores. Os resultados apresentados na pesquisa indicam que, o uso de recursos tecnológicos propicia novos meios para que os estudantes possam apreciar a explicação do acerto ou erro de problema em questão. A autora conclui o artigo, afirmando que as tecnologias contribuem para aguçar a percepção e o entendimento de novos conceitos pelos alunos, mas isso não garante a aprendizagem de Matemática.
6.3 Modelagem Matemática e Ensino e aprendizagem de conceitos Matemáticos nos Ensinos Fundamentais e Médios.
Vilma Candida Bueno
Frederico da Silva Reis
Esse artigo faz analise do método de ensino Modelagem Matemática em sala de aula, a partir do estudo de um Mini-Curso que trata da criação de um modelo que posteriormente deverá ser aplicado na resolução de problema que originou. O resultado importante do mini-curso foi o entusiasmo dos participantes ao ver as potencialidades didáticas que podem ser vivenciadas no ensino da Matemática com o auxilio da Modelagem Matemática nas salas de aula
6.4 Modelagem Matemática na Sala de aula ?
Jonei cerqueira Barbosa
Esse artigo apresenta algumas idéias teóricas sobre Modelagem Matemática na sala de aula. Dando ênfase a aspectos sócio-culturais, relacionando modelagem com a idéia de problema com referência na realidade. Além disso, o autor discute a integração desse ambiente de aprendizagem no currículo.
6.5 Modelagem Matemática: uma proposta de ensino possível na Escola Pública ?
Nézio Luiz Carminati
O artigo relatar a experiência de professores de rede Estadual do Paraná, participantes do Curso de MM em sala de aula. A análise desse projeto de MM aplicado por professores do Estado do Paraná leva o autor a concluir que a utilização do processo de Modelagem Matemática em sala de aula deve sofrer algumas alterações.
6.6 Modelagem Matemática: o que é? Por quê? Como?
Jonei cerqueira Barbosa
Esse artigo, expõe algumas idéias teóricas sobre Modelagem na perspectiva da Educação Matemática. Usando exemplos de sala de aula e colocando ênfase sobre aspectos sócio-culturais, Modelagem é relacionada a problemas com referência na realidade. A integração de Modelagem no
currículo escolar também é discutida.
6.7 Modelagem na Educação Matemática: contribuição ao debate teórico ?
Jonei cerqueira Barbosa
O artigo é relato do estudo da teoria Modelagem Matemática como método de estudo em sala de aula. O autor apresentar de maneira sistematizada o esboço da prática de MM em sala de aula, com suas limitações e perspectivas. E conclui queé preciso aumentar a quantidade de pesquisa em MM em nosso país.
6.8 Modelagem Matemática "Para" sala de aula: uma experiência com professores do Ensino Médio ?
Kécio Gonçalves Leite
Esse artigo faz estudo das experiências de professores de rede Estadual do Paraná, participantes do Curso de MM em sala de aula. A partir da análise dos relatos dos participantes desse curso de MM, o autor conclui que após o curso a Modelagem Matemática passou a ser vista pelos professores como uma real possibilidade de recurso e metodologia a ser utilizada em salas de aula.
6.9 Uma Proposta de Modelagem Matemática como Estratégia de Ensino ?
Taciana Maciel Baggio
Esse artigo é uma proposta do uso da Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem. É proposta uma atividade de modelagem que viabiliza discutir o conceito de função e sua influência na sociedade. A partir do tema "Internet" é desenvolvido um modelo matemático que permite discutir sobre função. A autora conclui sugerindo o uso da MM como estratégia de Ensino e Aprendizagem.
7. Conclusões
Acreditamos que a utilização de Modelagem Matemática como método de Ensino, extrapole os limites da aula convencional e que esse método torna o aluno sujeito ativo na construção de sua própria aprendizagem. Tornando o Ensino prazeroso tanto para aluno quanto para professor. Por ser uma metodologia de ensino totalmente flexível que valoriza a exploração, investigação a análise de dados, aliada a introdução do conteúdo Matemático contextualizado, em uma situação problema, pode favorecer o aluno a desenvolvimento e reconstrução de sua própria aprendizagem de forma ativa, como sujeito que pode interferir na sua realidade com criticidade.
Contudo, os autores dos artigos analisados também expressam a sua preocupação com as dificuldades encontradas para a implantação do método de Modelagem Matemática no ensino nas escolas Brasileiras.
Referências Bibliográficas
ALMEIDA, L. M. W. e BRITO, D..S. Modelagem matemática na sala de aula: algumas implicações para o ensino e aprendizagem da matemática. Anais do XI CIAEM, Blumenau, SC, 2003.
AUSUBEL, David Paul. NOVAK, Joseph Donald. HANESIAN, Helen. Psicologia Educacional. Trad. Eva Nick. 2ª ed. Rio de Janeiro: Interamericana, 1980.
BIEMBENGUT, M. S. HEIN, N. Modelagem Matemática no Ensino. 5ª ed. São Paulo: Contexto, 2009.
BLUM, W. e NISS, M. Applied mathematical problem solving, modeling, applications and links to other subjects ? State, Trends and issues in Mathematics instruction. Educational Studies in Mathematics, 22()1, pp. 36-38, 1991.
DEMO, Pedro. Educar pela Pesquisa. 4ª Ed. Campinas, SP: Autores Associados, 2000. ? Coleção Educação Contemporânea.
D?AMBROSIO, Ubiratan. A matemática nas escolas. Educação matemática em Revista, ano 9 n 11ª, edição especial, abril de 2002, pp 29-33
VIGOTSKI, Lev Semenovic, A formação social da mente: o Desenvolvimento dos Processos Psicológicos Superiores. Organizadores Michael Cole...(et al.); Tradução José Cipolla Neto, Luís Silveira Menna Barreto, Solange Castro Afache. 6ª ed. São Paulo: Martins Fontes, 1998.
Artigos Analisados
BAGGIO. T. M. Uma Proposta de Modelagem Matemática como Estratégia de Ensino.
BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: O que é? Por que? Como? Veritati, n. 4. P.73-80, 2004.2. Em http://www.uefs.br/nupemm/veritati.pdf. Acesso em 16 de abril de 2011.
BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática na Sala de Aula. Perspectiva, Erechim (RS), v. 27, n. 98, p. 65-74, junho/2003.
BARBOSA, J. C. Modelagem na Educação Matemática: Contribuições para o Debate Teórico. Reunião Anual da ANPED, 24., 2001, Caxambu. Anais... Caxambu: ANPED, 2001.
BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática & Recursos Tecnológicos. PUCRS
BIEMBENGUT, M. S. Concepções e Tendências de Modelagem Matemática na Educação Brasileira. Artigo a ser apresentado em forma de conferência na XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática a ser realizada em junho de 2011. Publicação no prelo. PUCRS
CARMINATI. N. L. Modelagem Matemática: Uma Proposta de Ensino Possível na Escola Pública. PDE 2007. UFTPR
LEITE, K. G. Modelagem Matemática "Para" Sala de Aula: Uma Experiência com Professores do Ensino Médio. UFMT
REIS, F. S. BUENO, V. C. Modelagem Matemática e Ensino e Aprendizagem de Conceitos Matemáticos nos ensinos Fundamental e Médio. UFOP