PRIMEIRA PARTE DA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA MATEMÁTICA NA ESCOLA SUPERIOR PEDAGÓGICA DO CUANDO CUBANGO- ANGOLA

Autor: MSc. José Luis Sabonete Calulo  

Docente da Escola Superior Pedagógica do Cuando Cubango, com a categoria de Assistente

 E-mail: [email protected]/ [email protected]

Resumo

Este artigo tem como finalidade, abordar temáticas relacionadas com a unidade curricular, facilita a compreensão das propriedades das funções e interpretação geométricas dos conceitos de limite, tangente em um ponto e derivada, contribuindo para alcançar o perfil de um profissional à altura de satisfazer as exigências da sociedade. A mesmo, tem a finalidade de facilitar a relação existente entre os conhecimentos adquirido ao longo dos planos curriculares dos níveis anteriores, tendo como foco o grau crescente de complexidade. Neste artigo, faremos referência aos aspectos introdutórios da unidade curricular, deste o ponto de vista teórico, assim como, os aspectos relacionados com a prática de exercícios das temáticas introdutórias, concretamente, ao conceito de função, determinação do domínio de uma função, assim como, as formas de representar uma função. Finalmente, apresentamos as conclusões, recomendações e bibliografia.

 

Funções elementares. Propriedades

• Conceito de função 

Ao estudar diversos fenómenos da Natureza e resolver problemas técnicos, e por conseguinte, matemáticos, surge a necessidade de examinar a variação de uma magnitude em dependência da variação de outra. Por exemplo, ao estudar o movimento, o espaço percorrido se considera como uma variável que muda em dependência da variação do tempo. Deste modo o espaço recorrido é função do tempo.

A ideia de correspondência, desempenha um papel fundamental na formulação do conceito de função. Na tua vida quotidiana, creio já teres experiências relacionadas ao conceito de correspondência.   

Por exemplo:

A cada pessoa lhe corresponde uma idade;

A cada livro no armazém lhe corresponde um preço;

A cada veiculo lhe corresponde uma chapa de matricula;

A cada circulo lhe corresponde uma área.

Um dos aspectos mais importante de cada ciência, é o estabelecimento das correspondências entre vários fenómenos. Uma vez que se conhece uma correspondência, se pode fazer predições.  Um engenheiro pode usar uma formula para predizer as desviações de uma viga sujeita a diferentes cargas.

Uma variável é função de outra se a primeira depende da segunda. Por exemplo: a área do circulo á função do seu raio. Se temos o valor do raio, então a área esta determinada. De facto  , onde é a constante numérica.

Ver expressão em PDF

Definição

Uma função é uma regra que produz uma correspondência entre dois conjuntos de elementos, tal que a cada elemento do primeiro conjunto corresponde a um, e só um elemento, do segundo conjunto.

Em outro termos, chama-se função ou aplicação f, a correspondência entre um conjunto A denominado  conjunto e partida e um conjunto B designado de conjunto de chegada, em que cada elemento x do conjunto A, corresponde a um e só um elemento  y do conjunto de chegada B.

Ver Aplicação em PDF.

Ao primeiro conjunto se chama domínio e ao conjunto de todos os elementos que correspondem ao segundo conjunto, se conhece como imagem. O conjunto das imagens é subconjunto do contradomínio. A  variável x se denomina variável independente ou argumento e a variável y se denomina dependente. A  dependência que existe entre as variáveis x e y se chama funcional. A letra f que entra na notação simbólica de uma dependência funcional, y=f(x) significa que hão de fazer-se certas operações com o valor de x para obter o valor de x.

Campo de existência de uma função: o conjunto de valores de x, para os quais dada função é determinada, chama-se campo de existência da função ou campo de definição desta função.

Exemplos Resolvidos

1.      Determinar o campo de definição das seguintes Funções: Ver em PDF.

Actividade autónoma A

1.      Determinar o Campo de existencia das seguintes Funções: Ver em PDF.

 

·         Formas de Representar uma função

O conceito de função, sendo um dos mais importantes da matemática, é por vezes mal compreendido pelos alunos. Mas afinal o que é uma função? Basta que pensemos no seguinte: sempre que tivermos dois conjuntos e exista algum tipo de relação entre os elementos desses dois conjuntos, de forma a que todo o elemento do primeiro conjunto esteja relacionado com um único elemento do segundo conjunto, então estamos na presença de uma função. A cada um dos elementos do primeiro conjunto dá-se o nome de objeto e a cada um dos elementos do segundo conjunto dá-se o nome de imagem. Vamos supor que temos um conjunto com cinco meninos e outro conjunto com as respetivas idades, isto trata-se de uma função, uma vez que cada menino possui uma e uma só idade. Neste exemplo, cada um dos meninos é um objeto e a sua idade é uma imagem. Na linguagem matemática existem diversas formas de definir uma função. No próximo quadro-resumo iremos mostrar algumas das mais conhecidas formas de representar uma função:

 

Nome	Imagem	Descrição
Diagrama de Setas	Ver imagem em PDF.	Neste diagrama utilizam-se setas para ligar cada um dos objetos do primeiro conjunto à sua respetiva imagem no segundo conjunto. Muito bom do ponto de vista visual, porque permite-nos ver imediatamente que objetos estão ligados a que imagens. No entanto é impraticável no caso de se tratar de um grande volume de dados.
Tabela	Ver imagem em PDF.	As tabelas que representam uma função podem ser desenhadas tanto na vertical como na horizontal. Se estiver na horizontal a primeira linha corresponde aos objetos e a segunda às imagens. Se estiver na vertical, (como no exemplo da imagem), a primeira coluna corresponde aos objetos e a segunda às imagens.
Gráfico Cartesiano	Ver Aplicação em PDF.	Num gráfico cartesiano são desenhados dois eixos que se intersetam. Normalmente, ainda que isso não seja obrigatório, o eixo do `x`, ou seja, o das abcissas corresponde aos objetos, enquanto que o eixo do `y`, ou seja, o das ordenadas corresponde às imagens. É muito útil para se poder observar o comportamento da função.
Expressão Algébrica	Ver imagem em PDF.	A expressão algébrica só pode ser utilizada para representar funções numéricas de variável numérica. Não posso utilizar uma expressão algébrica, para fazer corresponder o nome de um menino à sua idade. Apesar desta restrição, é o método que permite englobar o maior número de objetos, mesmo que estes sejam infinitos.

Gráfico de uma função

O gráfico de uma função corresponde a um conjunto de pares ordenados (x,y). Neste par ordenado, à variável `x` corresponde o objeto, enquanto que à variável `y` corresponde a imagem. É muito semelhante à tabela, mas utiliza uma linguagem mais associada à Matemática, em que as coordenadas dos pontos podem facilmente ser reproduzidas num gráfico cartesiano.

O gráfico de uma função pode ter inumeráveis formas distintas. Mas, nem todas as curvas no plano, são gráficos de funções. Uma função associa a cada ponto x do domínio um só valor de y. O gráfico de uma função tem, portanto, a propriedade de que uma recta vertical que passe por qualquer ponto do eixo corta em um ponto. Analise as figuras a baixo:  Ver em PDF.

Exemplos Objectivos

Ao abastecer o veículo no posto de combustíveis, o valor a ser pago depende da quantidade de litros colocados no tanque. Dessa forma, observamos que o preço a ser pago está em função da quantidade de litros, sendo, portanto, um exemplo de função presente no quotidiano.

Vamos através de diagramas de flechas demonstrar esses três elementos pertencentes ao estudo das funções.

Os elementos do conjunto A serão relacionados com os elementos do conjunto B através de uma lei de formação. Observe: Ver em PDF.

 

O conjunto A é formado pelos elementos {–1, 0, 2, 3, 4} e o conjunto B pelos elementos {–1, 0, 1, 5, 6, 7, 8, 9}. Observe que os elementos do conjunto A se relacionam com os elementos de B segundo a função de A → B (função de A em B) pela lei de formação f(x) = 2x + 1. Observe:

f(–1) = 2 * (–1) + 1 = –2 + 1 = –1

f(0) = 2 * 0 + 1 = 0 + 1 = 1

f(2) = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5

f(3) = 2 * 3 + 1 = 6 + 1 = 7

f(4) = 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9 

Nessa relação, temos que o domínio é dado pelo conjunto A, o contradomínio representado pelo conjunto B e a imagem pelos elementos de B que possuem relação com os elementos do conjunto A.

Domínio: {–1, 0, 2, 3, 4}

Contradomínio: {–1, 0, 1, 5, 6, 7, 8, 9}

Imagem: {–1, 1, 5, 7, 9}

Na seguinte situação, relacionaremos o conjunto A com o conjunto B, obedecendo a uma nova lei de formação, dada por   f(x) = x² – 2. Observe os cálculos que determinarão o conjunto imagem dos elementos de A.

f(–1) = (–1)² – 2 = 1 – 2 = –1

f(0) = 0² – 2 = 0 – 2 = –2

f(2) = 2² – 2 = 4 – 2 = 2

f(3) = 3² – 2 = 9 – 2 = 7

f(4) = 4² – 2 = 16 – 2 = 14

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Domínio: {–1, 0, 2, 3, 4}

Contradomínio: {–2, –1, 2, 7, 14}

Imagem: {–2, –1, 2, 7, 14}

Em algumas situações o contradomínio e a imagem são iguais, isto é, possuem os mesmos elementos.

Na seguinte relação, a lei de formação será dada por f(x) = x³, o conjunto A será formado pelos elementos {–2, –1, 0, 1, 2, 3}. Vamos determinar o conjunto B imagem desse domínio representado pelo conjunto A.

f(–2) = (–2)³ = –8

f(–1) = (–1)³ = –1

f(0) = 0³ = 0

f(1) = 1³ = 1

f(2) = 2³ = 8

f(3) = 3³ = 27

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Domínio: {–2, –1, 0, 1, 2, 3}

Contradomínio: {–8, –1, 0, 1, 8, 27}

Imagem: {–8, –1, 0, 1, 8, 27}

Exemplo Objectivo 1:

O preço do litro da gasolina em um posto de aabastecimento é 160 Kzs.

Litros	Valor a pagar
1	Kzs 160
2	Kzs 320
3	Kzs 480
4	Kzs 640
5	Kzs 800
10	Kzs 1600
15	Kzs 2400
20	Kzs 3200

O total a pagar depende da quantidade de gasolina abastecida. Podemos estabelecer uma relação entre a quantidade de litros de gasolina e o valor a ser pago:

f(x): preço a pagar (varia de acordo com a quantidade de litros abastecidos)
x: litros (variável)

y: preço do litro (valor pré-fixado)

Temos que a lei de formação da função é: f(x) = 160x

Exemplo Objectivo 2:

Um taxista cobra um valor fixo de R$ 4,20 mais R$ 0,30 por quilômetro rodado. Escreva a função que determina o valor de uma corrida e qual o valor que uma pessoa irá pagar por ter usado os serviços do taxista após rodar 20 km.

Função: f(x) = 0,30x + 4,20 (onde x: km rodados e R$ 4,20 valor fixo)

f(x) = 0,30x + 4,20

f(20) = 0,30 * 20 + 4,20

f(20) = 6 + 4,20

f(20) = 10,20

A pessoa irá pagar R$ 10,20 pelo serviço prestado.

Exemplo Objectivo: 3

Para produzir um determinado produto, uma indústria tem um custo fixo de R$ 32,00 mais R$ 1,50 por peça produzida. Qual o custo de produção de 500 peças?

Função: f(x) = 1,5x + 32

f(500) = 1,5 * 500 + 32

f(500) = 750 + 32                 

f(500) = 782                                                                                                         

O custo para a produção de 500 peças será de R$ 782,00.

Conclusões

·         Esta Unidade curricular é de vital importância para o aperfeiçoamento de habilidades em temáticas de cálculo e não só;

·         Os exercícios ora apresentados, apresentam uma graduação, que possibilita a apropriação do conhecimento por parte do estudante.

 

Recomendações

·         Que o presente artigo, sirva de material de apoio aos estudantes do curso de Ensino de Matemática da Escola Superior Pedagógica do Cuando Cubango e não só;

·         Que outros investigadores continuem a investigar estas temáticas, por forma a enriquecer as fontes de consultas.

 

Bibliografia

Demidovitch, B. (1993). Problemas e Exercícios de Análise Matemática. Lisboa - Portugal: Escolar Editora.

Maqueira, R., & Mrtínez, C. R. (2003). Laboratório de Matemática Superior. La Habana: Editorial Felix Vareira.

Stewart, J. (2009). Cálculo con Trnscendentes Temperanas. Habana: Editorial Félix Varela.

Sydsaeter, K., & Hammond, P. J. (2003). Matemáticas para el Análisis Económico- Volumen I. La Habana: Editórial Félix Varela.