Números Primos na segurança bancária
Publicado em 03 de agosto de 2010 por Gervásio Silva Neto
NÚMEROS PRIMOS NA SEGURANÇA BANCÁRIA
Acadêmico Ademir Fernandes de Souza
Acadêmico Gervásio Silva Neto
Orientadora Maria José de Azevedo Araújo.
"Na verdade você nunca aprende uma nova teoria, você simplesmente a utiliza". (Albert Einstein).
RESUMO
Neste artigo bibliográfico e qualitativo apresenta-se o tema criptografia com números primos e intitula-se: Números Primos na Segurança Bancária, Objetiva-se motivar alunos de diversas áreas, séries de ensino fundamental e médio, para que estes possam conhecer a importância que os números primos possuem, e que os mesmos são e utilizados em lugares ou em coisas, que talvez eles não imaginassem além conhecer a criptografia, a qual muitos deles utilizam em várias coisas como MSN, Orkut, sem perceber que a criptografia está sendo utilizada por eles. Espera-se que ao conhecer a criptografia com números primos, o aluno sinta-se motivado a descobrir novas coisas na matemática, desenvolvendo assim quem sabe uma melhor simpatia pela matemática, a qual é encarada por muitos como um monstro.
PALAVRAS-CHAVE:
Criptografia, Segurança, Números Primos, Matemática e Computadores.
ABSTRACT:
This paper presents qualitative and literature is the theme encryption prime numbers and is entitled: Prime Numbers in Security Bank, The objective is to motivate students from different areas, a series of primary and secondary education so that they can know the importance that prime numbers are, and that they are used and in places or things that they might not imagine well known encryption, which many of them use various things such as MSN, Orkut, unaware that encryption is being used by them . It is hoped that by knowing the encryption on prime numbers, students feel motivated to discover new things in math, so maybe developing a better sympathy for mathematics, which is seen by many as a monster.
INTRODUÇÃO
Por meio deste artigo podemos conhecer a respeito de um união que deu certo, que são os números primos e a criptografia, os nossos conhecidos números primos nos ajudam a estar mascarando algumas informações que nos são valiosas, utilizando-se da criptografia a qual foi de grande ajuda nas antigas civilizações, onde os reis sentiram a necessidade de criar uma fórmula para não permitir que suas valiosas informações caíssem em mãos inimigas, e cada vez mais viviam criando sempre novos códigos e aprimorando para não serem descobertos por os quebradores de códigos e esses códigos são usados até hoje, inclusive na segurança bancária e em outros meios, levando para o cotidiano, você utiliza-se da criptografia ao estar criando senhas no seu e-mail, Orkut, MSN, twitter, e em várias outras coisas. Neste artigo saberemos, como surgiu a criptografia, porque utilizamos os números primos na mesma, como é utilizada na segurança bancária, e se existe ameaças a esse ótimo instrumento que útil para todos nós.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Na matemática, um dos assuntos que são fundamentais, são os números primos, estes números são de certa forma, complexos e muitos já tentaram desenvolver uma fórmula específica para demonstrá-los, porém, todos sem sucesso, tratam-se números ímpares, (com exceção do par 2) que só são divididos por eles mesmos e por 1. Foi demonstrado por Euclides que existem infinitos números primos. Estes números por não serem facilmente decompostos são também essenciais para criptografia. Segundo o grande matemático Christian Goldbech, todo número par é formado pela soma de dois números primos. Como por exemplo:
2+2=4
3+3=6
5+5=10
7+7=14
Muitos também já tentaram demonstrar essa conjectura de Goldbech, até o dia de hoje, ninguém conseguiu provar isso.
É claro que a muito tempo o ser humano tem a necessidade de manter informações em sigilo, e com a tecnologia cada vez mais avançando, foram surgindo várias formas de obter guardadas as informações, dentre essas novidades surgiram os bancos, os quais nos dias atuais são indispensáveis para o homem manter em seguro suas finanças, estes possuem um sistema tecnológico muito avançado, claro que graças a informática e o avanço do saber do próprio ser humano; e hoje, em vários países, os bancos aderiram a uma forma bastante interessante de manter guardado as informações desses clientes, e esse sistema é o sistema de criptografia, onde ao cliente obter uma conta e automaticamente criar sua senha, o banco transformaria esta senha em um número primo gigantesco, onde seria quase impossível outra pessoa a não ser o cliente e o próprio banco terem acesso a esta conta. Algumas pessoas tentam fazer quebra desses números, porém, com números muito altos, eles dificilmente conseguem sucesso em suas tentativas, pois os números são muito gigantescos como, por exemplo, (2193 - 1). Os fatores primos desse número são:
p = 13.821.503;
q = 61.654.440.233.248.340.616.559;
r = 14.732.265.321.145.317.331.353.282.383.
Os quais a multiplicação: p x q x r = (2193-1)
Como podemos perceber esse número só pôde ser obtido por um computador, imagine agora, que alguém tente conseguir esse resultado por fatoração, essa pessoa morreria tentar descobrir este número e nunca iria conseguir chegar a este resultado.
Um computador normal para fazer cálculos e tentar quebrar uma criptografia de um número tipo 10130 levaria cerca de 50 anos para efetuar sua fatoração. Mas antes vamos tentar entender o que é Criptografia.
CRIPTOGRAFIA
No passado, os governantes de seus países utilizavam-se de meios de comunicações para comandar seus exércitos, onde suas mensagens seriam bastante importantes e se caísse em mãos erradas poderia causar um grande prejuízo, pois as mesmas possuíam segredos preciosos, a respeito quem sabe de um plano de ataque, ou mesmo uma fraqueza no exército inimigo, portanto eles sabiam que essa forma de comunicação deveria ser uma forma mais segura, portanto, seria uma ameaça para os governantes, a partir daí surgiu a idéia de mascarar as mensagens através de códigos e cifras, para que somente aquele que ia receber a mensagem, soubesse o que estava escrito, assim surgiu a nossa criptografia. Só lembrando que, desde então, o decifradores estão aí lutando intensamente para estar quebrando esses códigos.
A palavra Criptografia vem da união de duas palavras gregas Kryptós e Gráphein, as quais Kryptós significa "oculto" "envolto" e Gráphein significa "escrever"; logo, segundo Emerson Elecrim:
Trata-se de um conjunto de conceitos e técnicas que visa codificar uma informação de forma que somente o emissor e o receptor possam acessá-la, evitando que um intruso consiga interpretá-la. Para isso, uma série de técnicas são usadas e muitas outras surgem com o passar do tempo.
Na computação o método mais comum envolve o conceito de chaves; os quais são chamados de chaves de criptográficas. O qual se trata de um conjunto de bits que tem como base um algoritmo que tem a capacidade de codificar e descodificar informações. Se alguém recebe uma mensagem e utilizar de uma chave diferente daquele que emitiu a mensagem, então será impossível esse receptor ter acesso ao conteúdo da mensagem que lhe foi enviada. Assim, caso alguém que possua um computador, o qual, várias pessoas se apossam constantemente como, por exemplo, parente e amigos, este usuário poderá salvar seus arquivos, criptografá-lo adicionando uma senha e somente ele poderá ter acesso às informações desse arquivo, portanto é bastante útil e agradável a criptografia inclusive em coisas simples que fazem parte do nosso cotidiano.
No princípio, quando os métodos criptográficos começaram a surgir, eram utilizados a criptografia com apenas um algoritmo, o que não seria útil para manter sigilosas as informações os quais essas pessoas estava criptografando. Vamos imaginar que certo Joãozinho tivesse que enviar uma mensagem à Maria, e digamos que Joãozinho criptografou essa mensagem, porém Joãozinho já tinha em outro momento mandado alguma mensagem para a Luluzinha, e também tinha criptografado essa mensagem para a Luluzinha com o mesmo algoritmo, imagine agora que Luluzinha também quer a mensagem que Joãozinho enviou à Maria, e digamos que ela consegue a mensagem, logo, ela utilizará, da senha que Joãozinho enviou para ela, e também seria fácil desvendar esta criptografia. Portanto, os novos criptógrafos necessitavam ampliar o número de algoritmos para obterem sucesso nessa nova descoberta. Então os criptógrafos começaram a criar chaves com números maiores de bits, estes bits são os que determinam o tamanho de uma chave, quanto mais bits forem utilizados em uma chave mais segura ficaria assim essa criptografia. Digamos que um algoritmo use 8 bits, apenas 256 chaves poderiam serem usadas na decodificação, porque 28 é igual a 256, então até uma pessoa conseguiria quebrar esta criptografia por mais que demore, imagine um computador, agora digamos que nós utilizássemos 500 bits? Encontraríamos um número bastante alto. Interessante ressaltar também, é que além dos criptógrafos (Os que criam códigos), surgiram também os criptoanalistas (aqueles chamados quebradores de códigos). Os maiores gênios da criptografia geralmente são pessoas desconhecidas, pois eles trabalham constantemente em serviços secretos pelo seu país, assim como é a criptografia.
Certa vez um famoso matemático americano Martin Gardner, fez um desafio para decodificarem um texto que ele criou em agosto de 1977, para isso seria necessário utilizar fatoração de números primos, entretanto, ele forneceu uma chave para quem quisesse decodificar, essa chave por sua vez era um número enorme, vejamos abaixo:
N = 114.381.625.757.888.867.669.235.779.976.
146.612.010.218.296.721.242.362.562.561.842.
935.706.935.245.733.897.830.597.123.563.958.
705.058.989.075.147.599.290.026.879.543.541
Após dezessete anos, 600 pessoas de várias nacionalidades, se reuniram para tentar quebrar essa façanha, porém não foi assim tão fácil, foram necessários a utilização de computadores e supercomputadores, e em 26 de abril de 1994, eles finalmente conseguiram chegar a um resultado, vejamos estes fatores de números primos:
p = 3.490.529.510.847.650.949.147.849.619.903.898.
133.417.764.638.493.387.843.990.820.577
q = 32.769.132.993.266.709.549.961.988.190.834.461.
413.177.642.967.992.942.539.798.288.533
Ou seja, a chave sugerida por Martin Gardner era igual a multiplicação desses dois números que também são muito grandes (N= pxq). Porém olha o tamanho do texto decifrado, e é claro, traduzido de Gardner: "as palavras mágicas são estruturas sensíveis". Então como vimos esses números gigantescos primos, vejamos os dez maiores números conhecidos até o dia 06/09/2004 com o número de seus dígitos.
10 Maiores primos conhecidos Nº de dígitos
224036583-1 7235733
220996011-1 6320430
213466917-1 4053946
26972593-1 2098960
5359.25054502+1 1521561
23021377-1 909526
22976221-1 895932
1372930131072+1 804474
1361244131072+1 803988
1176694131072+1 795695
Ao prestigiarmos tamanha evolução matemática correlação a números primos, vemos como é eficaz o trabalho da matemática em nosso cotidiano, ao conhecermos a segurança que a criptografia nos proporciona podemos agora, termos cada vez mais a certeza de que estamos com nosso dinheiro guardado em "sete chaves". Porém, existe alguma ameaça, contra essa fabulosa forma de criptografia? Talvez sim, algo que a tecnologia promete nos trazer no futuro; os chamados computadores quânticos.
COMPUTADORES QUÂNTICOS
Segundo o site da Wikipédia, Computador quântico "é um dispositivo que executa cálculos fazendo uso direto de propriedades da mecânica quântica, tais como sobreposição e interferência". São computadores bastante diferentes dos computadores clássicos, estes computadores terão uma vantagem dos computadores clássicos em questão de resolver problemas de uma forma muito mais eficiente, e muito mais rápida, onde os computadores clássicos levariam muito tempo para resolvê-los. Isso devido à sua unidade de informação o qubit, o qual trabalha de uma forma diferente, para entendermos essa forma vejamos o que diz o site Wikipédia.
Um computador clássico tem uma memória feita de bits. Cada bit guarda um "1" ou um "0" de informação. Um computador quântico mantém um conjunto de qubits. Um qubit pode conter um "1", um "0" ou uma sobreposição destes. Em outras palavras, pode conter tanto um "1" como um "0" ao mesmo tempo. O computador quântico funciona pela manipulação destes qubits.
E para nossa tristeza esses computadores resolveriam em muito pouco tempo a fatoração de números primos naturais positivos, mesmo que estes sejam enormes, o que seria um desastre para o sistema atual utilizado na segurança bancária de vários países no mundo. Entretanto, este ofereceria um novo esquema de canal mais seguro. Porém, será que realmente esse novo "esquema de canal" oferecido pelos computadores quânticos realmente seria seguro? Não podemos esquecer que assim como a tecnologia tem avançado para benefícios para todos, ela também tem avançado, nos sistemas de pessoas más intencionadas que passam a ter o conhecimento dos novos avanços, e a partir destes procuram uma forma específica de desfazer o que foi conseguido com muito esforço; como sabemos, existem criptógrafos, mas também existem os criptoanalistas que constantemente lutam para desfazer a criptografia.
Logo, podemos perceber que a Matemática é de fundamental importância em todas as áreas e que cada vez mais o mundo torna-se dependente dos avanços matemáticos. Podemos comprovar isto por meio desse fantástico sistema que acabamos de prestigiar, logo, cada nova descoberta hoje, torna-se quem sabe uma grande ajuda futuramente, basta apenas deixarmos ela nos revelar o que tem de novo. E que os números primos servem de grande ajuda para nós, mesmo que às vezes não percebamos, graças a esses números podemos obter nossas informações mais valiosas em sigilo, e esperamos avanços da matemática, para que esses futuros computadores quânticos não venham abalar um sistema tão agradável e seguro que é o de criptografia por meio dos números primos, mas, enquanto essas novas descobertas não aparecem, vamos deixar que a história revele isso.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Em meio a tanta insegurança proporcionada por esse mundo, ainda existe a armas de defesas que podemos utilizar, para que como as antigas civilizações, possamos nos proteger de pessoas más intencionadas, e a criptografia com números primos tem sido uma das mais seguras formas de mantermos com nossos bens guardados, através da senhas transformadas pela criptografia. Portanto é de grande importância estarmos examinando os benefícios que a matemática tem a nos proporcionar, porque o conhecimento matemático tem transformado o mundo, e devemos lutar para que a mesma continue sendo de grande utilidade para o bem estar humano.
SOBRE OS AUTORES:
Os autores são alunos de graduação do 3º período do Curso de Licenciatura em Matemática, no turno noturno da Universidade Tiradentes, Propriá/SE. O trabalho é resultado de prática investigativa na forma de pesquisa qualitativa do tipo pesquisa bibliográfica. A elaboração deste texto reflexivo foi produzido sob orientação da professora Maria José de Azevedo Araújo, no transcurso da disciplina "Organização do Trabalho Pedagógico (OTP)", no primeiro semestre letivo de 2010. E-mail(s) para contato: [email protected], [email protected] e [email protected].
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
SINGH,Simon - O livro dos Códigos,Editora Record, 2001.
http://www.testonline.com.br/curprimos.htm. Acessado em 09/11/09.
http://www.infowester.com/criptografia.php. Acessado em 18/11/09.
http://www.guj.com.br/posts/list/15/36531.java#200444. Acessado em 09/11/09.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Computador_qu%C3%A2ntico. Acessado em 18/11/09.
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo. Acessado em 18/11/09.
Acadêmico Ademir Fernandes de Souza
Acadêmico Gervásio Silva Neto
Orientadora Maria José de Azevedo Araújo.
"Na verdade você nunca aprende uma nova teoria, você simplesmente a utiliza". (Albert Einstein).
RESUMO
Neste artigo bibliográfico e qualitativo apresenta-se o tema criptografia com números primos e intitula-se: Números Primos na Segurança Bancária, Objetiva-se motivar alunos de diversas áreas, séries de ensino fundamental e médio, para que estes possam conhecer a importância que os números primos possuem, e que os mesmos são e utilizados em lugares ou em coisas, que talvez eles não imaginassem além conhecer a criptografia, a qual muitos deles utilizam em várias coisas como MSN, Orkut, sem perceber que a criptografia está sendo utilizada por eles. Espera-se que ao conhecer a criptografia com números primos, o aluno sinta-se motivado a descobrir novas coisas na matemática, desenvolvendo assim quem sabe uma melhor simpatia pela matemática, a qual é encarada por muitos como um monstro.
PALAVRAS-CHAVE:
Criptografia, Segurança, Números Primos, Matemática e Computadores.
ABSTRACT:
This paper presents qualitative and literature is the theme encryption prime numbers and is entitled: Prime Numbers in Security Bank, The objective is to motivate students from different areas, a series of primary and secondary education so that they can know the importance that prime numbers are, and that they are used and in places or things that they might not imagine well known encryption, which many of them use various things such as MSN, Orkut, unaware that encryption is being used by them . It is hoped that by knowing the encryption on prime numbers, students feel motivated to discover new things in math, so maybe developing a better sympathy for mathematics, which is seen by many as a monster.
INTRODUÇÃO
Por meio deste artigo podemos conhecer a respeito de um união que deu certo, que são os números primos e a criptografia, os nossos conhecidos números primos nos ajudam a estar mascarando algumas informações que nos são valiosas, utilizando-se da criptografia a qual foi de grande ajuda nas antigas civilizações, onde os reis sentiram a necessidade de criar uma fórmula para não permitir que suas valiosas informações caíssem em mãos inimigas, e cada vez mais viviam criando sempre novos códigos e aprimorando para não serem descobertos por os quebradores de códigos e esses códigos são usados até hoje, inclusive na segurança bancária e em outros meios, levando para o cotidiano, você utiliza-se da criptografia ao estar criando senhas no seu e-mail, Orkut, MSN, twitter, e em várias outras coisas. Neste artigo saberemos, como surgiu a criptografia, porque utilizamos os números primos na mesma, como é utilizada na segurança bancária, e se existe ameaças a esse ótimo instrumento que útil para todos nós.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Na matemática, um dos assuntos que são fundamentais, são os números primos, estes números são de certa forma, complexos e muitos já tentaram desenvolver uma fórmula específica para demonstrá-los, porém, todos sem sucesso, tratam-se números ímpares, (com exceção do par 2) que só são divididos por eles mesmos e por 1. Foi demonstrado por Euclides que existem infinitos números primos. Estes números por não serem facilmente decompostos são também essenciais para criptografia. Segundo o grande matemático Christian Goldbech, todo número par é formado pela soma de dois números primos. Como por exemplo:
2+2=4
3+3=6
5+5=10
7+7=14
Muitos também já tentaram demonstrar essa conjectura de Goldbech, até o dia de hoje, ninguém conseguiu provar isso.
É claro que a muito tempo o ser humano tem a necessidade de manter informações em sigilo, e com a tecnologia cada vez mais avançando, foram surgindo várias formas de obter guardadas as informações, dentre essas novidades surgiram os bancos, os quais nos dias atuais são indispensáveis para o homem manter em seguro suas finanças, estes possuem um sistema tecnológico muito avançado, claro que graças a informática e o avanço do saber do próprio ser humano; e hoje, em vários países, os bancos aderiram a uma forma bastante interessante de manter guardado as informações desses clientes, e esse sistema é o sistema de criptografia, onde ao cliente obter uma conta e automaticamente criar sua senha, o banco transformaria esta senha em um número primo gigantesco, onde seria quase impossível outra pessoa a não ser o cliente e o próprio banco terem acesso a esta conta. Algumas pessoas tentam fazer quebra desses números, porém, com números muito altos, eles dificilmente conseguem sucesso em suas tentativas, pois os números são muito gigantescos como, por exemplo, (2193 - 1). Os fatores primos desse número são:
p = 13.821.503;
q = 61.654.440.233.248.340.616.559;
r = 14.732.265.321.145.317.331.353.282.383.
Os quais a multiplicação: p x q x r = (2193-1)
Como podemos perceber esse número só pôde ser obtido por um computador, imagine agora, que alguém tente conseguir esse resultado por fatoração, essa pessoa morreria tentar descobrir este número e nunca iria conseguir chegar a este resultado.
Um computador normal para fazer cálculos e tentar quebrar uma criptografia de um número tipo 10130 levaria cerca de 50 anos para efetuar sua fatoração. Mas antes vamos tentar entender o que é Criptografia.
CRIPTOGRAFIA
No passado, os governantes de seus países utilizavam-se de meios de comunicações para comandar seus exércitos, onde suas mensagens seriam bastante importantes e se caísse em mãos erradas poderia causar um grande prejuízo, pois as mesmas possuíam segredos preciosos, a respeito quem sabe de um plano de ataque, ou mesmo uma fraqueza no exército inimigo, portanto eles sabiam que essa forma de comunicação deveria ser uma forma mais segura, portanto, seria uma ameaça para os governantes, a partir daí surgiu a idéia de mascarar as mensagens através de códigos e cifras, para que somente aquele que ia receber a mensagem, soubesse o que estava escrito, assim surgiu a nossa criptografia. Só lembrando que, desde então, o decifradores estão aí lutando intensamente para estar quebrando esses códigos.
A palavra Criptografia vem da união de duas palavras gregas Kryptós e Gráphein, as quais Kryptós significa "oculto" "envolto" e Gráphein significa "escrever"; logo, segundo Emerson Elecrim:
Trata-se de um conjunto de conceitos e técnicas que visa codificar uma informação de forma que somente o emissor e o receptor possam acessá-la, evitando que um intruso consiga interpretá-la. Para isso, uma série de técnicas são usadas e muitas outras surgem com o passar do tempo.
Na computação o método mais comum envolve o conceito de chaves; os quais são chamados de chaves de criptográficas. O qual se trata de um conjunto de bits que tem como base um algoritmo que tem a capacidade de codificar e descodificar informações. Se alguém recebe uma mensagem e utilizar de uma chave diferente daquele que emitiu a mensagem, então será impossível esse receptor ter acesso ao conteúdo da mensagem que lhe foi enviada. Assim, caso alguém que possua um computador, o qual, várias pessoas se apossam constantemente como, por exemplo, parente e amigos, este usuário poderá salvar seus arquivos, criptografá-lo adicionando uma senha e somente ele poderá ter acesso às informações desse arquivo, portanto é bastante útil e agradável a criptografia inclusive em coisas simples que fazem parte do nosso cotidiano.
No princípio, quando os métodos criptográficos começaram a surgir, eram utilizados a criptografia com apenas um algoritmo, o que não seria útil para manter sigilosas as informações os quais essas pessoas estava criptografando. Vamos imaginar que certo Joãozinho tivesse que enviar uma mensagem à Maria, e digamos que Joãozinho criptografou essa mensagem, porém Joãozinho já tinha em outro momento mandado alguma mensagem para a Luluzinha, e também tinha criptografado essa mensagem para a Luluzinha com o mesmo algoritmo, imagine agora que Luluzinha também quer a mensagem que Joãozinho enviou à Maria, e digamos que ela consegue a mensagem, logo, ela utilizará, da senha que Joãozinho enviou para ela, e também seria fácil desvendar esta criptografia. Portanto, os novos criptógrafos necessitavam ampliar o número de algoritmos para obterem sucesso nessa nova descoberta. Então os criptógrafos começaram a criar chaves com números maiores de bits, estes bits são os que determinam o tamanho de uma chave, quanto mais bits forem utilizados em uma chave mais segura ficaria assim essa criptografia. Digamos que um algoritmo use 8 bits, apenas 256 chaves poderiam serem usadas na decodificação, porque 28 é igual a 256, então até uma pessoa conseguiria quebrar esta criptografia por mais que demore, imagine um computador, agora digamos que nós utilizássemos 500 bits? Encontraríamos um número bastante alto. Interessante ressaltar também, é que além dos criptógrafos (Os que criam códigos), surgiram também os criptoanalistas (aqueles chamados quebradores de códigos). Os maiores gênios da criptografia geralmente são pessoas desconhecidas, pois eles trabalham constantemente em serviços secretos pelo seu país, assim como é a criptografia.
Certa vez um famoso matemático americano Martin Gardner, fez um desafio para decodificarem um texto que ele criou em agosto de 1977, para isso seria necessário utilizar fatoração de números primos, entretanto, ele forneceu uma chave para quem quisesse decodificar, essa chave por sua vez era um número enorme, vejamos abaixo:
N = 114.381.625.757.888.867.669.235.779.976.
146.612.010.218.296.721.242.362.562.561.842.
935.706.935.245.733.897.830.597.123.563.958.
705.058.989.075.147.599.290.026.879.543.541
Após dezessete anos, 600 pessoas de várias nacionalidades, se reuniram para tentar quebrar essa façanha, porém não foi assim tão fácil, foram necessários a utilização de computadores e supercomputadores, e em 26 de abril de 1994, eles finalmente conseguiram chegar a um resultado, vejamos estes fatores de números primos:
p = 3.490.529.510.847.650.949.147.849.619.903.898.
133.417.764.638.493.387.843.990.820.577
q = 32.769.132.993.266.709.549.961.988.190.834.461.
413.177.642.967.992.942.539.798.288.533
Ou seja, a chave sugerida por Martin Gardner era igual a multiplicação desses dois números que também são muito grandes (N= pxq). Porém olha o tamanho do texto decifrado, e é claro, traduzido de Gardner: "as palavras mágicas são estruturas sensíveis". Então como vimos esses números gigantescos primos, vejamos os dez maiores números conhecidos até o dia 06/09/2004 com o número de seus dígitos.
10 Maiores primos conhecidos Nº de dígitos
224036583-1 7235733
220996011-1 6320430
213466917-1 4053946
26972593-1 2098960
5359.25054502+1 1521561
23021377-1 909526
22976221-1 895932
1372930131072+1 804474
1361244131072+1 803988
1176694131072+1 795695
Ao prestigiarmos tamanha evolução matemática correlação a números primos, vemos como é eficaz o trabalho da matemática em nosso cotidiano, ao conhecermos a segurança que a criptografia nos proporciona podemos agora, termos cada vez mais a certeza de que estamos com nosso dinheiro guardado em "sete chaves". Porém, existe alguma ameaça, contra essa fabulosa forma de criptografia? Talvez sim, algo que a tecnologia promete nos trazer no futuro; os chamados computadores quânticos.
COMPUTADORES QUÂNTICOS
Segundo o site da Wikipédia, Computador quântico "é um dispositivo que executa cálculos fazendo uso direto de propriedades da mecânica quântica, tais como sobreposição e interferência". São computadores bastante diferentes dos computadores clássicos, estes computadores terão uma vantagem dos computadores clássicos em questão de resolver problemas de uma forma muito mais eficiente, e muito mais rápida, onde os computadores clássicos levariam muito tempo para resolvê-los. Isso devido à sua unidade de informação o qubit, o qual trabalha de uma forma diferente, para entendermos essa forma vejamos o que diz o site Wikipédia.
Um computador clássico tem uma memória feita de bits. Cada bit guarda um "1" ou um "0" de informação. Um computador quântico mantém um conjunto de qubits. Um qubit pode conter um "1", um "0" ou uma sobreposição destes. Em outras palavras, pode conter tanto um "1" como um "0" ao mesmo tempo. O computador quântico funciona pela manipulação destes qubits.
E para nossa tristeza esses computadores resolveriam em muito pouco tempo a fatoração de números primos naturais positivos, mesmo que estes sejam enormes, o que seria um desastre para o sistema atual utilizado na segurança bancária de vários países no mundo. Entretanto, este ofereceria um novo esquema de canal mais seguro. Porém, será que realmente esse novo "esquema de canal" oferecido pelos computadores quânticos realmente seria seguro? Não podemos esquecer que assim como a tecnologia tem avançado para benefícios para todos, ela também tem avançado, nos sistemas de pessoas más intencionadas que passam a ter o conhecimento dos novos avanços, e a partir destes procuram uma forma específica de desfazer o que foi conseguido com muito esforço; como sabemos, existem criptógrafos, mas também existem os criptoanalistas que constantemente lutam para desfazer a criptografia.
Logo, podemos perceber que a Matemática é de fundamental importância em todas as áreas e que cada vez mais o mundo torna-se dependente dos avanços matemáticos. Podemos comprovar isto por meio desse fantástico sistema que acabamos de prestigiar, logo, cada nova descoberta hoje, torna-se quem sabe uma grande ajuda futuramente, basta apenas deixarmos ela nos revelar o que tem de novo. E que os números primos servem de grande ajuda para nós, mesmo que às vezes não percebamos, graças a esses números podemos obter nossas informações mais valiosas em sigilo, e esperamos avanços da matemática, para que esses futuros computadores quânticos não venham abalar um sistema tão agradável e seguro que é o de criptografia por meio dos números primos, mas, enquanto essas novas descobertas não aparecem, vamos deixar que a história revele isso.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Em meio a tanta insegurança proporcionada por esse mundo, ainda existe a armas de defesas que podemos utilizar, para que como as antigas civilizações, possamos nos proteger de pessoas más intencionadas, e a criptografia com números primos tem sido uma das mais seguras formas de mantermos com nossos bens guardados, através da senhas transformadas pela criptografia. Portanto é de grande importância estarmos examinando os benefícios que a matemática tem a nos proporcionar, porque o conhecimento matemático tem transformado o mundo, e devemos lutar para que a mesma continue sendo de grande utilidade para o bem estar humano.
SOBRE OS AUTORES:
Os autores são alunos de graduação do 3º período do Curso de Licenciatura em Matemática, no turno noturno da Universidade Tiradentes, Propriá/SE. O trabalho é resultado de prática investigativa na forma de pesquisa qualitativa do tipo pesquisa bibliográfica. A elaboração deste texto reflexivo foi produzido sob orientação da professora Maria José de Azevedo Araújo, no transcurso da disciplina "Organização do Trabalho Pedagógico (OTP)", no primeiro semestre letivo de 2010. E-mail(s) para contato: [email protected], [email protected] e [email protected].
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
SINGH,Simon - O livro dos Códigos,Editora Record, 2001.
http://www.testonline.com.br/curprimos.htm. Acessado em 09/11/09.
http://www.infowester.com/criptografia.php. Acessado em 18/11/09.
http://www.guj.com.br/posts/list/15/36531.java#200444. Acessado em 09/11/09.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Computador_qu%C3%A2ntico. Acessado em 18/11/09.
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo. Acessado em 18/11/09.