Definição formal de ponto ideal - geometria hiperbólica
Publicado em 07 de janeiro de 2012 por Fernando Costa Gomes
O presente texto traz uma das importantes definições existentes na Geometria Hiperbólica: a de Ponto Ideal. Esse resultado pode ser usado inclusive como resposta de uma questão proposta por João Lucas Marques Barbosa em seu livro " Geometria Hiperbólica- Ed. da UFG, 2002; Capítulo 6; Seção 6.2; pág. 65.
DEFINIÇÃO(De ponto ideal)
No plano E (plano Euclidiano) com os axiomas da Geometria Hiperbólica, seja R= {r/ r é reta em E}. Considere em R a relação:
r/s pertencentes a R, rR*s se, e somente se, r = s ou r é paralela a s no mesmo sentido.
Observe que R* é uma relação de equivalência, uma vez que são válidas as propriedades reflexiva, simétria e transitiva.
É exatamente a cada classe de equivalência rd ou re pertencentes a R/~ que chamamos de ponto ideal (da reta r).
R/~ é o conjunto dos pontos ideais ou pontos no infinito do plano hiperbólico.
Obs: rd é um ponto que se identifica com um feixe de retas paralelas em um mesmo sentido a alguma reta dada r. Denotamos também rd por Ω.
Fixada uma reta r podemos associar a r dois pontos ideais Ω+ e Ω- , os quais podem ser justapostos a r, formando uma reta “longa” ou uma reta com os pontos no infinito “anexados”.
Logo, se r* é uma de tais retas fixada, temos:
r* = r U rd U re e r* está contida em E U R/~.
Note que, R/~ é um espaço abstrato e que H = E U R/~, onde H representa o espaço hiperbólico
Perceba finalmente, que r* é reta de H se r* = r U rd U re, onde r pertencente a R e rd e re são as classes de retas paralelas à direita e à esquerda respectivamente.