A FÓRMULA “DE BASKHARA”

RESUMO

O objetivo do presente artigo é responder, através da História da Matemática, se a Fórmula de Bháskara é ou não de Bháskara. Quando falamos em História da Ciência, História da Humanidade, temos que obrigatoriamente em algum momento citar fatos que correlacionam a História da Matemática. Construção de pirâmides, o seno, cosseno e a tangente para manter a inclinação constante das faces de uma pirâmide, cálculos engenhosos realizados na antiguidade, onde a base de tudo isso é a Matemática, a mesma ciência que hoje nos permite os avanços espetaculares nos campos da Física, Astronomia, Medicina, Computação e toda a ciência humana.

 INTRODUÇÃO

Já é sabido por todos que o conhecimento matemático desenvolveu-se, nos primórdios da civilização, como resposta às necessidades práticas da sociedade humana e, na medida em que essa sociedade foi evoluindo, se desenvolvendo, tornando-secomplexa, o cálculo matemático também avançou não na mesma proporção, mas com passos muito mais rápidos do que para a simples resposta a problemas práticos. Acompanhar esses passos permite compreender a origem das ideias que deram forma à evolução da própria ciência,não apenas na parte per se. analisar os aspectos humanos do desenvolvimento da Matemática e conhecer os gênios que criaram essas ideias. Outro aspecto importante é que, através da história, podem-se estabelecer relações entre a matemática, a filosofia, a astronomia, a geografia, a cultura e outros ramos do saber. A contribuição significativa de vários povos, desde o período de 3000 a.C. até o presente, como os egípcios, babilônicos, gregos, chineses, hindus e árabes, foram fundamentais ao entendimento e a busca do "querer saber mais" da Matemática. Ao longo do tempo, a matemática evoluiu, com os homens pensando até onde era possível, como fazer, encontrando soluções e procurando formas de expressar seus pensamentos dentro de uma especificidade peculiar a matemática. Por fim, é importante salientar a importância da História da Matemática como instrumento para o ensino-aprendizagem desta ciência intrigante, pois os desafios matemáticos são desafios da própria humanidade, em sua luta de sobrevivência e ascensão intelectual. Nos sentidos acima expostos, a origem da Fórmula de Bháskara é uma parterelevante da História, não apenas da Matemática, mas da Sociedade, da Ciência e daprópria Humanidade. 

A MATEMÁTICA INDIANA (INDIANA ????)

A matemática hindu esta presente no mundo inteiro: os universalmente conhecidos algarismos arábicos são de origem hindu. Os hindus conheciam a extração da raiz quadrada e cúbica e tinham noções das leis fundamentais da trigonometria. Seus conhecimentos matemáticos, tão essenciais para várias ciências, foram divulgados na Europa pelos árabes (EVES, 2002). São do 3º milénio a.C. os primeiros vestígios matemáticos da civilização que se desenvolveu no vale do rio Indo. Descobertas parecem indicar que os harapas, povos que habitavam aquela região, adotaram um sistema decimal de pesos e medidas (BROWN.EDU, 2009). Os hindus foram exímios aritméticos e deram contribuições significativas à álgebra. Muitos dos problemas aritméticos eram resolvidos por falsa posição. Outro método de resolução conhecido era o de inversão no qual se trabalha para trás, a partir dos dados. EDUCACIONAL (2009) apresenta um exemplo de solução por inversão. O problema faz parte do texto Lilavati de Bhaskara: "Linda donzela de olhos resplandecentes, uma vez que entendeis o método de inversão correto, dizei-me qual é o número que multiplicado por 3, depois acrescido de ¾ do produto, depois dividido por 7, diminuído de 1/3 do quociente, multiplicado por si mesmo, diminuído de 52, pela extração da raiz quadrada, adição de 8 e divisão por 10 resulta no número 2?" Pelo método de inversão começamos com o número 2 e operamos para trás.Assim,[(2)(10) - 8]2 + 52 = 196 , v 196 = 14, (14) (3/2)(7)(4/7) ÷ 3 = 28é a resposta. Observe-se que onde a instrução do problema manda que se divida por 10, multiplica-se por 10; onde a instrução é somar 8, subtrai-se 8; onde manda que se extraia a raiz quadrada, eleva-se ao quadrado, e assim por diante. É a substituição de cada operação por sua inversa que responde pelo nome inversão. Os hindus personalizaram sua álgebra, aceitavam os números negativos e irracionais, somavam progressões aritméticas e geométricas, resolviam problemas comerciais envolvendo juros simples e compostos e sabiam que uma equação quadrática tem duas raízes reais. Revelaram notáveis habilidades em análise indeterminada, sendo talvez os primeiros a descobrir métodos gerais neste ramo. Outra contribuição importante dos hindus para a matemática é a função do seno na trigonometria. A trigonometria hindu era um instrumento útil e preciso para a astronomia (BROWN.EDU, 2009). A ideia do infinito é encontrada nos próprios Vedas. Ele foi corretamente compreendido como aquilo que permanece inalterado se adicionarmos ou subtrairmos dele o próprio infinito (SANTOS, 2009). Segundo a crença hindu, o universo é destruído no final de cada kalpa, que é a vida do deus criador Brahma. Entre a destruição do universo e sua recriação, no final de cada ciclo, o deus Vishnu repousa nos anéis de Ananta, a grande serpente do infinito, enquanto espera o universo se auto recriar. Os filósofos indianos sempre foram fascinados pela matemática. Foi os matemáticos indianos que inventaram o zero, uma absoluta necessidade para que pudesse ser desenvolvida uma aritmética tratável. A ideia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia - um ovo de ganso, redondo - ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa (EVES, 2002). De acordo com Educar (2009), estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para o persa, o célebre matemático al-Khwarizmi, a serviço do Califa de Bagdá, tomou contato com a notação do zero, representado pelos hindus como um ovo de ganso. Então, escreveu um livro chamado "Sobre a arte hindu de calcular", explicando com detalhes como funcionavam.

3 OS MATEMÁTICOS HINDUS (गणितीयहिंदुओं)

 Ramanujan

SrinivasaAiyangarRamanujan (1887-1920) foi um dos maiores gênios matemáticos indianos. Fez contribuições substanciais nas áreas de análise matemática, teoria dos números, séries infinitas, frações continuadas, etc. Ramanujan nasceu em uma pequena vila chamada Erode, a cerca de 400 km sudoeste de Madras. Quando tinha um ano de idade, a sua mãe levou-o para Kumbakonam, a cerca de 160 km de Madras onde o seu pai trabalhava como empregado numa loja de tecidos.Quando tinha perto de cinco anos, Ramanujan entrou para a escola primária em Kumbakonam, tendo mudado de escolas primárias várias vezes antes de entrar na Town High School em Janeiro de 1898. Ramanujan sempre mostrou um gosto especial pela matemática. Foi na Town High School que Ramanujan encontrou um livro de matemática de G. S. Carr chamado SynopsisofElementaryResults in PureMathematics. Este livro, com o seu estilo conciso, permitiu a Ramanujan avançar em matemática de forma autodidata. Na verdade, em 1900 começou a trabalhar sozinho na soma de séries geométricas e aritméticas. Em 1902, aprendeu a resolver equações cúbicas. A partir daí, empenhou-se em descobrir o seu próprio método para resolver equações de quarto grau. No ano seguinte, não sabendo que as equações de quinto grau não podiam ser resolvidas através de radicais, tentou (e obviamente falhou) resolver as equações de quinto grau. Em 1904, investigou as séries ∑ (1/n) e calculou a constante de Eüler para quinze casas decimais. Começou a estudar os números de Bernoulli, que descobriu de forma inteiramente independente.Ramanujan entrou em 1904 para a GovernmentCollegeemKumbakonam graças uma bolsa de estudo resultante do seu excelente desempenho escolar. Contudo a bolsa não foi renovada no ano seguinte porque Ramanujan dedicava cada vez mais tempo à matemática, negligenciando as outras matérias. Sem dinheiro, Ramanujan enfrentou dificuldades que o levaram, sem dizer aos pais, a fugir para Vizagapatnama cerca de 650 km de Madras. Apesar de tudo, continuou o seu trabalho matemático, então dedicado às séries hipergeométricas e às relações entre séries e integrais.Em 1906, Ramanujan foi para Madras onde entrou para oPachaiyappa’sCollege. O seu objetivo era fazer o exame de admissão à Universidade de Madras. Assistiu a aulas, mas adoeceu três meses depois. Ainda chegou a fazer o exame, passou em matemática, mas reprovou em todas as outras matérias, não entrou na Universidade de Madras. Nos anos seguintes, continuou o seu trabalho em matemática, desenvolvendo as suas próprias ideias, sem nenhuma ideia dos tópicos de investigação da altura, sem mais informações do que as do livro de Carr.Prosseguindo o seu trabalho, Ramanujan estudou frações contínuas e séries divergentes.  Por volta de 1908, mais uma vez, adoeceu gravemente. Esta situação obrigou-o a submeter-se a uma intervenção cirúrgica, em 1909, da qual levou um tempo considerável a recuperar. Casou em 14 de Julho quando a sua mãe lhe arranjou uma noiva de nove anos (S JanakiAmmal), com que só foi viver quando ela atingiu doze anos.Ramanujan continuou a desenvolver as suas idéias matemáticas e começou a publicar no JournaloftheIndianMathematicalSociety

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