O ESTUDO DA RAIZ QUADRADA POR ALUNOS DO ENSINO FUNDAMENTAL DA CIDADE DE NOSSA S. DE LOURDES-SERGIPE
Publicado em 23 de novembro de 2009 por Maria José de Azevedo Araujo
Acadêmica Amanda Freitas dos Santos
Acadêmico Francisco Xavier Neto
Acadêmico Jasson Cândido dos Santos
Acadêmica Maria das Vitórias Azevedo dos Santos
Orientadora: Mestre Maria José de Azevedo Araujo
RESUMO
A história da matemática é essencial para que possamos perceber a relação entre a teoria e a prática desde sua criação, relacionada ao ensino e a aprendizagem do aluno. Em relação ao ensino, o professor tem um papel importante que envolve desafios. Entretanto, o professor pode oferecer novas formas de melhor compreensão para o aluno, fazendo com que o aluno desenvolva alguns hábitos que venham valorizar e estruturar seu conhecimento. Hoje, diante de várias metodologias, muitos educadores têm em sua mão o poder para tornar a aula mais atrativa e direcionar o processo de ensino e aprendizagem de forma prazerosa para o aluno, ampliando seu conhecimento e proporcionando um crescimento intelectual e cultural diante de todo o aprendizado adquirido. Fazendo uma breve passagem por alguns temas da matemática, achamos interessante fazer algumas colocações sobre a Raiz Quadrada.Analisando seu estudo percebemos que ela pode nos mostrar a saída para vários problemas como, por exemplo, no Teorema de Pitágoras, diante do triângulo, usamos a raiz quadrada para definir um valor e encontrar uma solução para o problema abordado. Sabemos que a raiz quadrada de um número nada mais é do que encontrar um número que multiplicado por ele mesmo seja o valor encontrado na raiz, como por exemplo, 4² é igual a 16. Logo a raiz quadrada de 16 é 4. Podendo encontrar outros valores através de outros números.
PALAVRAS-CHAVES:
Ensino, Aprendizagem, Matemática, Professor, Aluno.
ABSTRAC
The history of mathematics is essential for us to understand the relationship between theory and practice since its creation, related to teaching and student learning. Regarding education, the teacher has a role that involves challenges. However, the teacher can offer new ways of understanding for the student, causing the student to develop some habits that will enhance their knowledge and structure. Today, in a variety of methodologies, many educators have in their hands the power to make the class more attractive and direct the process of teaching and learning in a pleasurable way for students, expanding their knowledge and providing an intellectual and cultural growth before all acquired skills. Making a short time in some subjects of mathematics, we make some interesting statements about the Square Root. Analyzing their study found that it can show us the way out several problems, for example, the Pythagorean theorem, given the triangle, we use the square root to set a value and find a solution to the problem addressed. We know that the square root of a number is nothing more than finding a number that multiplied by itself is the value found in the root, such as 4 ² is equal to 16. Soon the square root of 16 is 4. Being able to find other values through other numbers.
KEYWORDS:
Teaching, Learning, Mathematics, Professor, Student.
1 INTRODUÇÃO
Por volta dos séculos IX e VIII a.C. desde seu surgimento, encontramos na matemática e no seu ensino, práticas pedagógicas que provocaram admiração aos grandes líderes da época. Sendo elas hoje aperfeiçoadas e introduzidas em nosso meio, diante da necessidade de um povo, que por sua vez, tentava descobrir formas lógicas e verdadeiras de se resolver problemas do dia - a - dia e também os relacionados aos estudos das ciências exatas.
A matemática em seu ensino está resumida em apresentações, axiomas, definições e teoremas, se tratando da aprendizagem no ensino fundamental boa parte desse período é trabalhado em cima de definições.
Na aprendizagem o professor tem um papel importante o qual envolve desafios, desafios estes que consistem na realização de atividades para melhorar o aprendizado. Em se tratando da matemática o professor deve recontextualizar o conteúdo, buscando formas para melhor compreensão do conteúdo a ser dado.
O trabalho do aluno não é diretamente comparável ao trabalho do professor, pois o aluno deve ser estimulado a realizar atividades, resolver problemas, fazendo despertar o habito de fazer uso de seu raciocínio cultivando o gosto pelas resoluções de problemas, com isso o aluno vai valorizar sua criatividade e estratégias para resolução de problemas.
São muitas as dificuldades encontradas pelos alunos e também pelos professores no processo de aprendizagem, muitas das vezes o aluno não consegue absorver as informações dadas, por isso acabam reprovando, se aprovados não tem uma estrutura para aplicar os conhecimentos “adquiridos”, e os professore vendo essas dificuldades começam a procurar novos meios de ensinar, tanto que há um crescimento de professore que participam de cursos e conferências.
2 UM POUCO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A idéia de número tornou-se suficientemente ampla para que tivesse a necessidade de exprimir a propriedade. O homem primitivo frequentemente usava amontoados de pedras em conjunto de cinco para fazer contagem porque para eles era mais fácil contar desse jeito observando os dedos das mãos e dos pés.
Por volta do ano
Muitas vezes eles registravam suas contagens fazendo marcas em bastões ou em pedaços de ossos. O homem difere dos animais por causa de sua linguagem cujo desenvolvimento foi de vital importância e essencial para que surgisse o pensamento matemático.
Então surge o Papiro de Ahmes que ajuda os egípcios e contribui para a numeração.
Os egípcios usavam símbolos para representa os números, como por exemplo, um traço vertical representava 1 unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o número 10. Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave.
Com a ajuda deste sistema de numeração os egípcios conseguiam efetuar cálculos que envolviam números inteiros. Os egípcios eram muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros. Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número.
Na Babilônia como era frequentemente chamada a Mesopotâmia, a matemática era cultivada entre os escrivas responsáveis pelos tesouros reais.
Quatro povos conseguiram descobrir o princípio de posição. Os babilônios e os maias inventaram o zero, mas para eles este signo tinha o objetivo particular de marcar a ausência das unidades de uma certa casa, foram os indus os únicos que introduziram o conceito completo do número zero dando partida para uma grande evolução na matemática.
2.1 Arquimedes
Arquimedes nasceu em
Ensinou o cálculo de raízes quadradas, determinou alguns perímetros com toda a exatidão, calculo valores aproximados do
Além disso, são-lhe atribuídas algumas descobertas da área da Física tais como as leis do centro da gravidade, do plano inclinado entre outros.
3 HISTÓRIA DA EDUCAÇÃO NO BRASIL
Uma breve introdução sobre a História da Educação no Brasil, até porque a educação toda época vivida tem sua própria educação, pois a educação vai se modificando e o que é atual já não serve mais para a educação anterior, Isso ocorre porque novas exigências vão sendo fixadas no cenário da vida social.
A educação teve e tem seus avanços e retrocessos marcados por mutações compreendidas entre a cultura de uma religião e o estabelecimento padrão.
Envolvendo os costumes de um povo, a fim de manter uma ordem social, seu contexto histórico nos possibilita encontrar um caminho voltado para o desenvolvimento humano e da realização do homem como cidadão.
Diante de cada período da historia ocorre conflitos entre a educação atual e a antiga de maneira universal e integral para melhores aprimoramentos da nossa cultura.
A ciência, a tecnologia e o mundo das informações aproximam os povos, e o homem contemporâneo é obrigado a torna-se flexível, polivalente e com grande capacidade de atividade intelectual. A universalização das informações, o avanço das conquistas tecnológicas e a expansão da internet, ampliam os horizontes desencadeando a globalização, porém, em contra partida, o grande volume de informações "pode negativamente, homogeneizar e descaracterizar culturas tradicionais, bem como alienar e massificar, quando predomina o consumo passivo da informação sem crítica" (Aranha, 1996, p.235).
A educação surge através da história como uma cultura que prevalece com o decorrer do tempo.
A História da Educação no Brasil começa período colonial, por meio dos jesuítas quando surgem as primeiras relações. Após acontece a expulso dos jesuítas passando a ser introduzido o ensino laico, esse período foi chamado de reformas pombalinas, daí por diante muitas são as mudanças ocorrida até que chegasse a educação dos nossos dias atuais que também vive em constante movimento.
4 APRENDIZAGEM
Atualmente estão sendo analisadas diversas concepções sobre a qualidade do ensino que fundamentam os sistemas educacionais. São muitos modelos inclusive complexos e que precisam serem analisados. Neles destacam-se três níveis em que configura o processo de ensino e aprendizagem: o sistema educacional, a escola e sala de aula. Diante de análise feita anteriormente sobre essas concepções todas chegam ao um mesmo ponto, que a sala de aula e os processos que nela ocorrem entre professor e alunos explicam o êxito ou o fracasso dos estudantes em seu processo de aprendizagem.
Pedro Demo, 2001, p.56.
Aprender é a maior prova de maleabilidade do ser humano porque, mais que adaptar-se a realidade, passa a nela intervir. Sendo atividade tipicamente reconstrutiva de tessitura política, é também a maior prova do sujeito capaz de história própria.
Diante das concepções analisadas e do que foi considerado, essas analises exige a importância de compreender o que se passa na sala de aula quando um docente e um grupo de alunos assume a tarefa de ensinar e aprender e isso explica os diversos trabalhos de pesquisas, tanto básica como aplicada.
O modelo de Creemers, autor holandês é importante citar, pois ele fez uma rigorosa revisão dos trabalhos sobre a qualidade dos ensino e a eficácia na sala de aula e obteve com resultado dessa revisão uma seleção de variáveis que mais influem na aprendizagem dos alunos.
A organização das informações, a integração do material e a estrutura cognitiva são denominadas aprendizagem.
Podemos citar dois tipos de aprendizagem: a aprendizagem mecânica e aprendizagem significativa. A aprendizagem mecânica é um tipo de aprendizagem de novas informações sem nenhuma associação aos conceitos cognitivos já existentes, pode-se dizer que é uma aprendizagem decoreba. A aprendizagem significativa é um processo que relaciona idéias e informações a conceitos claros e disponíveis na estrutura cognitiva, ou seja, relacionando o conteúdo com a realidade vivenciada com o aluno.
É valido citar a contribuição do teórico Jerome Bruner que concebeu o processo de aprendizagem com “captar as relações entre os fatos”, depois de pesquisas feitas, Bruner formulou uma teoria de ensino.
Para Bruner:
O ensino abrange a organização da matéria de maneira clara e significativa para o aprendiz. Portanto, o professor deve preocupa-se não só com o conteúdo, mas também da ênfase a sua estrutura. (p.120)
Bruner também apresenta o método da descoberta, como base do trabalho educacional. Esse método possibilita a investigação, a indagação e, portanto, a descoberta.
Bruner ainda diz que:
Qualquer assunto pode ser ensinado com eficiência, de alguma forma intelectualmente honesta, a qualquer criança, em qualquer estágio de desenvolvimento. (p. 120)
Ele ainda propõe ao professor a utilização da teoria de Piget, buscando a definição clara das fases e desenvolvimento da criança.
5 AS DIFICULDADES DA APRENDIZAGEM MATEMÁTICA
São muitas as dificuldades encontradas pelos alunos e também pelos professores no processo de aprendizagem, muitas das vezes o aluno não consegue absorver as informações dadas, muitas das vezes passam a reprovar, ou até mesmo abandonar a escola por causa de uma matéria.
Para que isso não ocorra os professores muitas das vezes tão deixando de lado os livros e recorrendo aos jogos, com isso segura o aluno em sala de aula fazendo com que ele jogue determinado jogo aprendendo a matemática, mas nem sempre devemos usar, tem que ter seu momento certo, pois geralmente esses elementos tem apenas caráter “motivador” fazendo com que o aluno participe e passe a gostar da matemática.
A primeira vista parece que esses materiais são indispensáveis para o processo ensino-aprendizagem, mas nem sempre é verdade, segundo Carraher & Schilemann (1988) baseado em suas pesquisas:
"Não precisamos de objetos na sala de aula, mas de objetivos na sala de aula, mas de situações em que a resolução de um problema implique a utilização dos princípios lógico-matemáticos a serem ensinados”. Isto porque o material "apesar de ser formado por objetivos, pode ser considerado como um conjunto de objetos 'abstratos' porque esses objetos existem apenas na escola, para a finalidade de ensino, e não tem qualquer conexão com o mundo da criança" (p.179 e 180).
Tempos atrás acreditavam que uma criança assimilava os conteúdos com a mesma precisão que um adulto, com isso o ensino tinha o objetivo de corrigir as deficiências ou defeitos da criança, era considerada passiva basicamente constituída de memorizar regras e fórmulas.
Com o passar dos tempos esse ensino começou a ser questionado, passando considerar a educação como um processo natural da criança. Para Comenius (1952, p.1617):
“Ao invés de livros mortos, por que não podemos abrir o livro vivo da natureza? Devemos apresentar a juventude as próprias coisas, ao invés das suas sombras" (Ponce, p.127).
Maria Montessori educadora italiana, após experiências com crianças desenvolveu materiais destinados à aprendizagem matemática.
"Nada deve ser dado a criança, no campo da matemática, sem primeiro apresentar-se a ela uma situação concreta que a leve a agir, a pensar, a experimentar, a descobrir, e daí, a mergulhar na abstração" (Azevedo, p. 27).
Muitas das dificuldades encontradas no ensino-aprendizagem da matemática está relacionada ao desinteresse do aluno com a matéria, com o preparo do professor ou com sua metodologia de ensino.
John Milton Gregory (1991, p. 124) destaca que:
Há muitos professores que vão para sala de aula totalmente despreparados ou preparados apenas
O professor não deve julgar sua metodologia de ensino, pois apesar nenhum material tem validade por si só. O aluno tem o direito de aprender, mas não aprender de modo mecânico, repetitivo sem saber o que está fazendo e sim uma aprendizagem onde ele compreenda o que se pede produzindo a ele conhecimento.
É valido usar qualquer meio que melhore o aprendizado, seja ele qual for, mas sabendo que existem momentos certos para serem usados, nem sempre os jogos será a melhor forma para compreensão de determinado assunto, mas sim a discussão e resolução de problemas.
A dificuldade pode também estar relacionada a interpretação de questões, pois matemática também requer que análise e interpretação,
A matemática não se aprende de um dia pro outro, decorando formulas ou definições, sua aprendizagem ocorre dia a dia com estudo e principalmente a prática dela, ou seja, independente do conteúdo só aprenderá se o aluno começar a praticar, resolver questões, onde passa abrir seu raciocínio para diversos problemas.
6 RAIZ QUADRADA
Sabemos que raiz quadrada de um número nada mais é do que encontrar um número que multiplicado por ele mesmo seja o valor encontrado na raiz.
Em 1202, Leonardo Pisa em seu livro de cálculo, mostra o que hoje é raiz como “radix quadratum 16 aequalis
A palavra radix é associada com a origem do símbolo da raiz √, passado o tempo após ter feito de cópias em cima de cópias, resultou no símbolo que hoje em dia usamos.
6.1 Introdução
Já sabemos que a raiz quadrada de um número é encontrar um número que multiplicado por ele mesmo seja o valor encontrado na raiz quadrada.
Começamos querendo saber qual número positivo quando elevado ao quadrado seja igual a 36. Esse número é o 6, pois se elevarmos o 6 ao quadrado vamos encontrar em sua resolução o 36, ou seja:
62 = 6 x 6 = 36
Então o número 6 é a raiz quadrada de 36 e essa operação é chamada de radiciação.
Resolver uma equação significa encontrar todos os seus valores, que quando substituído no lugar do x, torne a igualdade correta. Sabemos que x = 6, pois o 6 já é uma solução, e também temos:
(-6)2 = (-6) x (-6) = 36
Pois quando multiplicamos um número negativo com outro negativo o resultado desta operação será um número negativo, pois quando multiplicamos (-) x (-) = (+).
Então podemos concluir que raiz quadrada de um número positivo possui duas soluções no caso da
Outros exemplos:
Todo número positivo possui uma raiz.
O teorema de Pitágoras onde diz que em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa e igual a soma dos quadrados dos catetos, sua resolução também acaba em uma raiz, ou seja:
a2 = b2 + c2
Desenvolvendo essa equação ficará:
Se analisado direito percebemos que não existe valor real para raízes quadrada negativas, pois como já sabemos qualquer número elevado ao quadrado resultará em um número positivo.
O que pode existir é a raiz ser negativa:
6.2 Propriedades da Raiz Quadrada
1- Se a ≥ 0 existe
2- Se a ≥ 0, então
3- Se a e b são positivos, então
4- Se a e b são positivos (e b≠ 0), então
As duas primeiras propriedades já estão exemplificadas em exemplos na introdução. As outras duas diz:
3 Propriedade =
4 Propriedade =
6.3 Aplicação da Raiz Quadrada
Como a matemática está presente no dia a dia, a raiz também pode ser encontrada no dia a dia aplicada a um fenômeno, por exemplo, se quisermos calcular a velocidade que um carro vinha após uma freada brusca.
Esse cálculo é simples, pois um carro após frear bruscamente os pneus deixa um rastro a depende do tamanho podemos concluir se ele vinha em alta velocidade ou não. Se numa freada o carro deixou um rastro de 100m, pela fórmula obtida através da física temos: v = 14,6
onde c corresponde ao tamanho do rastro deixado pelos pneus e v é a velocidade do carro ao qual queremos encontrar.
Resolvendo o problema temos:
V = 14,6
Então, concluímos que o carro vinha a uma velocidade media de
6.4 Algumas Dicas para Calcular uma Raiz Quadrada
Primeiramente devemos buscar na mente um número que multiplicado por ele mesmo seja igual o valor da raiz. Uma das formas mais fáceis é essa pois o aluno vai inserindo aleatoriamente números até chegar o valor exato, ou seja, no caso da raiz de 225, por este método o aluno deve ir “chutando” números até chegar a um número que multiplicado por ele próprio seja igual 225, neste caso “chutando”, temos que: 10 não é, pois 10 x 10 = 100; 12 também não, pois 12x 12 = 144; 16 também não, pois 16 x 16 = 256 e esse já ultrapassa o que queremos chegar, então 15, agora sim, pois 15 x 15 = 225.
Um outro método é fatorar o número até ele chegar a um, e depois agrupar de 2 em 2 os divisores que forem iguais, dividindo sempre pelo menor divisor natural possível.
Ex: Raiz quadrada de 36:
36 da para dividir por 2 ? Sim resultado 18
18 da para dividir por 2 ? Sim resultado 9
9 da para dividir por 2 ? não daí passa pro próximo divisor menor
9 da para dividir por 3 ? Sim resultado 3
3 da para dividir por 3 ? Sim resultado 1
Fazendo o agrupamento temos dois divisores semelhantes o dois e o três, onde cada um desses divisores aparecem 2 vezes, como o agrupamento é de 2 em 2, então basta agora multiplicar os valores que aparecem repetidos, ou seja, como o dois aparece duas vezes fica agrupamento de 2----2 = 2 e os 3----3 = 3, multiplicando fica 2 x 3 = 6 resposta da raiz quadrada de 36.
Para uma melhor assimilação do que foi mostrado temos:
|
36 ÷ 2 |
= 2 |
Multiplicando agora 2x 3, temos x = 6 |
|
18 ÷ 2 | ||
|
9 ÷ 3 |
= 3 | |
|
3 ÷ 3 | ||
|
1 | ||
Outro exemplo calcular a raiz quadrada de 122, onde:
144 para dividir por 2 ? Sim resultado 72
72 para dividir por 2 ? Sim resultado 36
36 da para dividir por 2 ? Sim resultado 18
18 da para dividir por 2 ? Sim resultado 9
9 da para dividir por 3 ? Sim resultado 3
3 da para dividir por 3 ? Sim resultado 1
Fazendo o agrupamento temos agora 4 vezes o número 2 repetido, então, fazendo grupos de 2 em 2, temos: 2----2 = 2, 2----2 = 2 e 3---3 = 3. multiplicando o resultado de cada agrupamento fica 2 x 2 x 3 = 12.
Observando a tabela ficará fácil assimilar o que foi realizado.
|
144 ÷ 2 |
= 2 |
Multiplicando agora 2 x 2 x 3, temos x = 12. |
|
72 ÷ 2 | ||
|
36 ÷ 2 |
= 2 | |
|
18 ÷ 2 | ||
|
9 ÷ 3 |
= 3 | |
|
3 ÷ 3 |
| |
|
1 |
| |
Esse tipo de método não serve para qualquer raiz quadrada, apenas para aquelas que possuem quadrados perfeitos.
Para uma melhor resolução é aconselhável e importante saber as operações matemáticas básicas, que são multiplicação e divisão, caso contrario é importante estudar a tabuada.
7 ANÁLISE DOS DADOS
À apresentação dos dados obtidos através da pesquisa de campo, devidamente qualificados pelos resultados da pesquisa documental, que foram os questionários, buscando opiniões quali-quantitativas a respeito da matéria Matemática e suas dificuldades.
Buscou-se colocar opiniões dos alunos do ensino fundamental residente da cidade de Nossa Senhora de Lourdes/ Sergipe.
Para realizar essa pesquisa foi utilizado como instrumento um questionário direcionado aos alunos. Estes questionários aparecem, na íntegra, como anexo, ao final deste trabalho.
Para obtenção dos resultados, realizaram-se cálculos estatísticos de freqüência absolutas e relativas. Após análise das respostas dos alunos entrevistados concluímos que:
A matemática para 90% dos alunos é vista como uma matéria complicada para compreensão e apenas 10% acha que a matemática é uma disciplina de fácil compreensão, onde 100% dos alunos disseram ter um gosto parcial pela matemática.
Tratando-se da raiz quadrada, é unânime a respostas deles, pois 100% acham que a raiz quadrada é um assunto complicado de difícil assimilação, pois eles sentem dificuldades nesse conteúdo e que a dificuldade de todos eles está relacionada à como desenvolvê-la, tendo essas dúvidas 100% dizem procurar primeiramente o professor em sala de aula para diante das dificuldades encontrarem meios fáceis que possam ajudar-lhes não resolução de determinadas atividades.
Por fim muitos alunos ainda sentem dificuldades de aprender a matemática, sabendo que não depende só do professor, não depende somente dele, depende de um embasamento teórico e prático da matemática, depende da sua maturação e de toda uma estrutura que possibilite um ambiente qualitativo adequado para levar o estimulo ao aluno.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta pesquisa mostramos um pouco da História da Matemática desde seu surgimento e também um apanhado geral sobre o estudo da Raiz Quadrada. Em entrevista com alguns alunos constatamos que a matemática ainda está sendo vista por alguns deles como um “bicho de sete cabeças”.
A partir daí, tiramos algumas conclusões que esta concepção ainda existe porque boa parte dos educadores ainda não está utilizando em sua prática de ensino às novas metodologias para envolver os alunos no ensino e aprendizado do cotidiano e poder tornar as aulas mais atrativas, proporcionando um crescimento intelectual e cultural para a vida do aluno.
Para mudar este cenário da aprendizagem cabe não só ao docente, como também ao discente procurar meios que melhorem a compreensão e absorção dos conteúdos.
É através da visão de uma Matemática socialmente construída que poderemos desmistificar as diversas dificuldades atribuídas ao seu estudo e, indo além, apresentá-la como uma ciência em construção.
SOBRE OS AUTORES
Os autores são alunos de graduação do 2º período do curso de Licenciatura em Matemática noturno da Universidade Tiradentes, Propriá/ SE. O presente trabalho é resultado de prática investigativa na forma de pesquisa qualitativa do tipo pesquisa bibliográfica e de campo. Este artigo foi produzido sob orientação da professora Maria José de Azevedo Araújo, no transcurso da disciplina “Psicologia da Educação”, no segundo semestre letivo de 2009. E-mail(s) para contato: [email protected], [email protected] e [email protected]
REFERÊNCIAS
BOCK, Ana Mercês Dahia. Psicologia: Uma Introdução ao Estudo de Psicologia, 13ª ed. São Paulo. Saraiva. 2002.
DEMO, Pedro. Político de Conhecimento. Sobre o Futuro do Combate à Pobreza. Edição de Tema Sociais. Petrópolis, RJ. Vozes, 2001.
GREGÓRIE, Jacques. Avaliação dos problemas da leitura: Os Novos Modelos Teóricos e suas Implicações Diagnósticas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio. Matemática e Realidade. São Paulo. 5ª Edição. Editora Atual, 2005.
http://www.tudolink.com/dicas-para-aprender-a-resolver-problemas-de-raiz-quadrada/. Data: 15/11/2009, 17:09
http://www.vestibular1.com.br/revisoes/matematica/aulas_matematica/aula18.pdf. Data: 15/11/2009, 16:57
http://matematicaenigmatica.blogspot.com/2009/11/origem-do-simbolo-da-raiz-quadrada.html. Data: 18/11/2009, 15:10
http://www.matematicahoje.com.br/telas/sala/didaticos/recursos_didaticos.asp?aux=C. Data: 15/11/2009, 16:32
http://pt.wikipedia.org/wiki/Hist%C3%B3ria_da_educa%C3%A7%C3%A3o_no_Brasil. Data: 13/11/2009, 13:42