Resenha de proteção à Tese: “Da Origem da Congruência e de seus Níveis”

Resenha de proteção à Tese: “Da Origem da Congruência e de seus Níveis”

Ademir Gomes Ferraz

Universidade Federal Rural de Pernambuco

Mestrado em Educação: Ensino a Distância (UFRPE)

Doutorado em Educação: Ensino de Matemática / Didática de Conteúdos Específicos. (UFPE)

Pós-Doutorado: Ensino a Distância: Problemas de Cursos a Distância que requerem expressões matemáticas. (UFPE)

 

Resenha de proteção à Tese: “Da Origem da Congruência e de seus Níveis”

 

Resumo (resenha texto de proteção)

 

O intuito desta resenha é proteger a elaboração de uma tese que estamos desenvolvendo cujo título provisório é: “Da Origem da Congruência e de seus Níveis”.  Neste sentido estamos tratando de um tipo de resenha desconhecido até o momento: Resenha de Proteção. Ambiente como  www.webartigos.com.br são fundamentais para publicações por, pelo menos, três motivos: Primeiro porque a ação é imediata uma vez que vale para o editor muito mais o conhecimento das pessoas do que “avaliações” por pares cegos; Segundo porque nossa produção acadêmica acaba, quando publicada em revista qualis, por ficar restrita a nós mesmos e a custo altíssimo; e terceiro porque há um número insuficiente de revistas e de revisores para a demanda de artigos ao ponto de nossos artigos passarem de seis meses a um ano até que recebamos o resultado da submissão. Nesse ínterim, conforme é do conhecimento na academia, vez por outra, pesquisadores sérios, ético e moralmente, acabam por serem lesados por apropriação do esboço de suas idéias. A tese tem como foco a teoria dos Registros de Representações Semiótica de Raymond Duval e particulariza duas questões em aberto: A primeira questão diz respeito ao caráter congruente ou não-congruente de uma conversão com a proposição de níveis de congruência, e de não-congruência; a segunda refere-se ao fato de se compreender de que depende a congruência: Da elaboração / enunciado da questão ou do nível de conhecimento específico de quem a vai resolver?

1.   Introdução

A resenha de proteção é um texto que tem como finalidade garantir ao pesquisador que não ocorra o apoderar-se por parte de outrem de uma ideia que está sendo trabalhada. Embora exista um “tabu” relativo a esta questão no meio acadêmico, onde se põe que este tipo de desvio de conduta não ocorre, esta questão é mais corriqueira do que se pensa.

            Podemos relacionar esta modalidade de “corrupção” ao plagio que infesta as instituições de ensino e que, até o momento, parece não incomodar os responsáveis por estas instituições a ponto de termos universidade com o Projeto Político-Pedagógico Institucional, PPI, plagiado como no caso da Universidade Federal Rural de Pernambuco[1].

            Neste nosso caso apresentamos parte importante da tese já com dados finalizados e que, não tem possibilidade de extração na proposição de um artigo dado a complexidade do caso.

De inicio queremos colocar que iremos grafar, quando possível, os elementos base da teoria com letra inicial maiúscula. Para nós que já nos debruçamos sobre a questão do tratamento muito próximo que Duval dá aos elementos de sua teoria[2], esta atenção é muito importante. Ela evita certos “ruídos” inclusive com palavras comuns distantes dos termos usados por Duval. Por exemplo: Usaremos Registro para o termo de Duval e registro quando estivermos falando do verbo registrar ou de qualquer outra ‘coisa’ que não seja elemento da Teoria dos Registros de Representação Semiótica e atividades intelectuais.

Isso posto sabemos que todas as ciências têm seus campos particulares onde mergulha o pesquisador para fazer suas análises, discussões e debates em busca de elementos para a atividade da aprendizagem. De modo particular “a aprendizagem em matemática constitui um campo bastante peculiar e propicio para a análise das atividades cognitivas fundamentais”. Duval (2004, p. 13).

A peculiaridade e propicialidade refletem-se pela própria constituição da Matemática que, por ser composta de objetos abstratos, somente nos permite acesso através de representações e, portanto, o auxilio das tecnologias (microscópio, computador, etc.) não estão disponíveis a esse acesso. 

Em virtude de não podermos acessar objetos concretos pelos meios disponíveis às demais ciência, a necessidade de “manipular” elementos que não estão em um lugar definido nem possuem um forma definida, mas que existem como uma idéia no campo da abstração faz com que a compreensão das matemáticas tenha um alto custo. É esta particularidade da matemática que torna peculiarmente complexo o estudo das atividades cognitivas que, de todo modo, é requerido na aprendizagem de qualquer ciência.

A pergunta que sobressai desta problemática é: Como então se aprende matemática? Em primeiro lugar é fundamental observarmos que o desenvolvimento da matemática, intrinsicamente ligado às Representações Semióticas, é um processo histórico e absolutamente imprescindível ao acesso dos objetos da matemática. Pode-se perguntar se dado que a teoria de Duval é tão recente, como se aprendia, ou não se aprendia, matemática antes dela, ou, ainda, após sua aparição?

Na realidade, conforme Ferraz & Gitirana (2007), de Courant (1965) a Anton (2000) passando por Moise (1970), Lang (1965), Piskunov (1969), Simmons (1988), etc., todos trabalham com pelo menos duas representações na “apresentação” do objeto matemático. Os autores de livros do ensino médio também assim trabalham. Portanto e razoável pensar que muitos professores trabalhem desta forma. O problema está no fato de, por não conhecerem a teoria, não observarem o principio fundamental de um aprendizado mais eficaz e duradouro. Principio este que está posto por toda obra de Duval como Conversão.  

Todos estes profissionais trabalham na perspectiva do aprendizado por Tratamento onde se pretende buscar um tipo de ação de justificação que, a principio, imagina-se ser o entendimento mais simples. Se de um lado pode ser mais simples, de outro o conhecimento é fugaz. Não se trata, portanto, de se aprender ou não matemática sem ser pela via de Duval. Mas de se ter um aprendizado mais eficaz e duradouro.

Dois exemplos de como os autores imagina produzirem no aluno um aprendizado de matemática e de como os autores do artigo que analisa os dois livros do ensino fundamental, dão a exata medida do que nos referimos acima.

Lopes et all (2011) apresentam dois exemplos sobre função linear com as seguintes explicações. Para a primeira definição / apresentação da função dizem os autores:

 

A definição de Smole é demasiado abstrata, entretanto é uma das mais corretas. Sua abordagem é diferente dos outros livros no ponto de vista didático, pois simultaneamente, ela mostra textos, tabelas e gráficos. Por vezes, isto poderá causar certo desconforto durante o aprendizado, pois pode ser interpretado como obstáculo devido ao enfoque diversificado. Entretanto, esta abordagem se torna significativa no sentido que de, por ser mostrado um exemplo com representações diferentes, o aluno pode buscar o melhor jeito para aprender o conteúdo. Smole (p.106).

 

 

Relativamente à segunda definição/apresentação da função linear dizem os autores:

 

A introdução de Paiva se assemelha a de Smole no sentido de que os dois autores utilizaram os recursos de tabelas e gráficos para conceituar a função do 1º grau. Entretanto o exemplo de Paiva não foi tão feliz do ponto de vista didático, pois se limita ao caso particular b=0, pois para o primeiro contato com o conteúdo, o aluno deveria entender a função do 1º grau como um caso geral. Esta generalização é feita na definição: Toda função do tipo f(x) =ax+b, com a e b reais, é denominada função do primeiro grau ou função afim.

 

 

 

Observemos que a analise dos autores do artigo, colocam a apresentação de Smole como mais eficiente que a de Paiva em virtude da primeira apresentar textos, tabelas e gráficos. Ainda mais que Paiva limitou-se a um caso particular da função em questão: b = 0. Observemos a disposição de duas representações em Smole e de três em Paiva. Apesar de Paiva apresentar uma representação a mais que Smole, ficam sem uma abordagem de Conversão. Mesmo com três representações, temos uma espécie de Tratamento.

Ora os autores não demonstram levar em consideração a questão da passagem entre linguagens e as suas dificuldades. A este respeito Duval (1988, p. 241) vem dizer:

O custo muito desigual da passagem entre escritura simbólica e representação gráfica aparece... de modo claro.  Para passar da linguagem simbólica para a linguagem gráfica não há necessidade de mais do que uma aplicação ponto-a-ponto. Os valores recebidos pela variável X são dados sem a preocupação com suas propriedades... mas para ir da linguagem figural para a escrita algébrica...é necessário identificar cada um dos seus valores e compreender o todo. Em outras palavras, a passagem da linguagem figural para a linguagem algébrica aumenta de uma interpretação global. (Duval, 1988, pp. 235-253) (Tradução livre).

 

Sobre o desenvolvimento da ciência e o acesso ao objeto matemático, Duval (2004) coloca duas questões muito peculiares. A primeira é que não há desenvolvimento científico se não se cria, para compreendê-lo, sistemas de representações; Segundo que historicamente o desenvolvimento da matemática está intrinsicamente ligado às representações semióticas motivado pelo fato de não poder haver acesso aos objetos matemáticos sem as Representações. Portanto Duval (2003, p. 13) diz que “... o desenvolvimento das representações semióticas foi uma condição essencial para a evolução do pensamento matemático”.

Fazendo foco nesta segunda questão, em vários de seus trabalhos como, por exemplo, Duval (1988a, 1993, 1995, 2003, 2004), o autor desenvolve a teoria da aprendizagem em matemática através de Sistemas Semióticos. Os trabalhos de Lemonidis (1984), Gusman (1990), Pavlopoulou (1993), Mesquita (1989), Rommevaux (1997), etc., conforme nos mostra Campos (2008), são pesquisas que dão suporte a idéia de se aprender as matemáticas através dos elementos propostos por Duval (Ibidem).

 

1.1Sobre a não-congruência, Semi-congruência e congruência.

Uma questão não é congruente porque o aluno a compreende e a responde com maior ou menor dificuldade. Mas porque o aluno a compreende e a responde com maior ou menor dificuldade é que a questão é congruente! Esta afirmativa está sustentada em Duval quando da reaplicação das questões propostas por hajri (1987). Naquele evento Duval (1988) verificou que ao fornecer melhores pistas para a questão D com a questão D’, o que equivale a um “enunciado” mais claro, ofereceu ao aluno uma informação a mais vem tornar a questão mais inteligível. Este fato proporcionou um aumento de 13% no índice de acertos da questão.

Dado que existem vários fatores de congruência, temos um espaço para preencher entre não-congruência, Semi-congruência e congruência. Neste vácuo entramos com níveis de não – congruência e níveis de congruência intermediados pela Semi-congruência. Entendemos também que existem questões não congruentes globais que são aquelas que independem da formulação da questão e do conhecimento específico.

Duval (2003, p.19) in Machado (2003): trata da questão: “o conjunto dos pontos cuja abscissa e cuja ordenada têm o mesmo sinal, x.y > 0, o produto da abscissa e da ordenada é maior que zero”. Esta questão não atende a nenhum dos três fatores de congruência definidos por Duval. Isso vem significa que ela não é congruente, contudo a não congruência quer dizer que a Representação de entrada não transparece na Representação de saída de forma imediata para estudantes que não dominem plenamente este conhecimento específico, e não que a questão não faça sentido, caso no qual a congruência independe do conhecimento específico.

Cabe-nos uma explicação quanto à questão “não fazer sentido” e, portanto, não ser congruente. A ideia é que um problema, conforme já aventamos, possui pelo menos dois elementos a ser observados: Primeiro a redação e, segundo, o conhecimento específico de quem é incumbido da solução. Uma questão como, por exemplo, a de se encontrar o resultado para  depende do conhecimento específico através do qual o aluno vai, ou não, perceber a importância da Regra de L’Hospital.  De outro lado uma questão redigida com ausência de dados necessários à solução, independe do grau de conhecimento específico.  Há ainda, a questão do problema que não faz sentido, o qual difere de impossível ou de indeterminado ou da não existência.

Para este último caso tomemos três exemplo a saber: 1) Ache o valor de  para x = 0. Esta questão não faz sentido; 2) A questão 1 difere de uma questão sobre Determinante quando o Determinante é zero. O que significa indeterminado; 3) E em questão de gráfico de função, ponto de inflexão é aquele no qual a derivada não existe ou torna-se infinita. As questões 2 e 3 têm respostas diferentes da questão 1 na qual não faz sentido falar de congruência. Ou seja: Em matemática, pelo menos, não existir é diferente de indeterminado, entretanto o indeterminado é solução. Ao passo que, não fazer sentido não é, em última análise, uma questão matemática.  

Na mesma linha Duval (2003, p. 24) diz:

 

Em toda análise de tarefa como em toda resolução de problemas, é necessário distinguir cuidadosamente o que sobressalta no tratamento em um registro e aquilo que sobressalta em uma conversão, esta consistindo em uma simples mudança de registros ou em uma mobilização em paralelo de dois registros diferentes.

 

Nesta introdução alguns pontos merecem destaque. Há a questão do tratamento muito próximo que Duval concede aos elementos base da teoria como Registro, Representação Sistema Semiótico, etc. Assunto no qual aqueles que trabalham com Duval parecem não se sentirem à vontade para abordar. Há ainda a questão da compreensão a respeito da congruência ou não congruência onde levantamos que o fato de uma questão não ser congruente, não implica em que não possua solução. Finalmente pudemos ver que há espaço para que possamos estabelecer níveis de não-congruência e níveis de congruência que iremos formalizar como: Não-Congruência - (Níveis) – Semi-Congruência - (Níveis) – Congruência.

            O problema da pesquisa ora posta nasceu em nosso doutorado quando nos pareceu haver alguns pontos carentes de melhores explicações na Teoria dos Registros Semióticos e aprendizagem intelectual de Raymond Duval. A primeira questão referia-se ao fato do tratamento muito próximo que Duval dava a alguns dos elementos como Registro, Representação, Registro de Representação, Representação Semiótica, Sistema Semiótico, etc. A segunda questão referia-se a Convergência tratada por Duval (1988, 2003, 2004).

No que se refere à primeira questão, tratava-se de compreender qual o elemento mais abrangente da teoria. Sem dúvidas este elemento estaria entre Registro e Representação. Buscamos dirimir a questão através de uma pesquisa intitulada “Uma Proposição sobre Distinção entre Elementos da Base Teórica de Raymond Durval”. (Ferraz, 2013- no prelo).

Nossa questão inicial então foi tentar saber que contexto de Descartes (1596 – 1650) foi tomando para a “paródia” feita por Duval.  Investigando as três obras onde esta questão estaria mais afeita: Discurso sobre o Método (1637), Geometria (1637) e Meditações Metafísicas (1641). A partir da leitura de aproximadamente trinta textos (artigos e teses) incluindo a obra de Duval, pudemos nos convencer de que: É fato que Duval dá um tratamento muito próximo aos elementos da teoria, “o que pode causar ruídos” conforme diz Ferraz (2013- no prelo).

Conforme análise do trabalho de Duval para este caso, trabalhamos uma tabela a fim de uma melhor análise.  Antes, porém, verifiquemos que os % nos itens A, B, C e D da questão proposta por hajri (1987), tiveram o mesmo valor em Duval (1988). Para o caso D’ quando Duval (1988), além de y > x, fornece a Representação y = x o número de acertos passa para 38%. Havendo um "ganho" de 13%. Estes testes foram aplicados tanto para o deuxième quanto para o troisième cycleo (segundo e terceiro grau).

• O conjunto dos pontos que possuem uma abscissa positiva;

• O conjunto de pontos que possuem uma ordenada negativa;

• O conjunto de pontos em que a abscissa e a ordenada possuem o mesmo sinal;

• O conjunto de pontos em que a ordenada é superior à abscissa.

         

            Tabela 1-Percentuais de congruência e não-congruência segundo Duval (1988)

 

      Algumas questões precisam ser respondidas, e o estamos fazendo na tese:

1) Por que [51-67] % para a congruência?

2) Por que [19 – 38] % para a não congruência? Caso II.

3) Por que [25 a 26] % não é congruente? Caso III.

Duval (2003, 2004) nos diz da existência de vários fatores de congruência e “define” três destes fatores. Não nos fornece uma escala de congruência muito embora isso fique implícito considerando apenas os três fatores postos. “Entre” a não-congruência e a congruência existe a Semi-congruência. Na tese estamos estabelecendo intervalos a partir dos três elementos já definidos por Duval (Ibidem) de modo análogo a Albuquerque (2002) e Ferraz (2004).

No caso de Ferraz (2004) a classificação foi apoiada no modelo probabilístico Qui-quadrado de Mantel Haeszel. Enquanto Albuquerque (2002) se utilizou de escala com distribuição normal, padronizada, com médias e desvio-padrão através da gaussiana (distribuição de Gauss). A Coordenação de Docentes do Ensino Superior, CAPEs, também criou várias classificações. Muitas vezes sem suporte em teorias estatísticas com, por exemplo, para Indicadores de Gestão que difere da dos conceitos dos programas de pós-graduação e, também, da avaliação dos Cursos de Graduação.

Importante observar que esta não é uma questão irrelevante. Ora, as três questões postas por Duval (2003, p. 14) in Machado (2003) são: 1) “O conjunto dos pontos cuja ordenada é maior que a abscissa, y > x”. Esta questão é congruente, pois possui os três fatores de congruência definidos por Duval (ibidem); 2) “O conjunto dos pontos que tem uma abscissa positiva, x > 0”. Esta questão é semi-congruente porque atende apenas a dois fatores de congruência proposto por Duval – “Maior que zero é uma perífrase. Um só significado para várias palavras”. Ou seja: x maior que zero e x positivo; 3) “O conjunto dos pontos cuja abscissa e cuja ordenada têm o mesmo sinal, x.y > 0. O produto da abscissa com a ordenada é maior que zero”. “Globalização descritiva (dois casos)”. A questão é Não-Congruente porque não atende a nenhum dos fatores propostos por Duval. Sendo que, para o caso da conservação da ordem das unidades, existem duas situações: x > 0 e y > 0; x < 0 e y < 0.

Todas estas questões envolvem a correspondência semântica que precisa ser entendida a partir de uma contextualização analítica daquilo que se quer dizer seja usando linguagens não naturais, seja no uso de linguagem comum, natural. Isso porque há a necessidade de se fazer correspondência de uma linguagem a outra. Este procedimento também se pode dá com o uso da “ativação fonética”.

De acordo com Costa (2005), MEYER et all (1999), etc., existem pelo menos três diferentes níveis de representação envolvidos no processo de produção de fala:

1) conceitual (ou semântico). Neste nível de representação é que se pode encontrar o conhecimento de palavras. Esta "aparição" pode está na forma de representação verbal ou não-verbal. Isto é: Os conceitos.

 2) lexi-cal. É neste nível que se representam os itens lexicais, quer dizer, as palavras, e suas propriedades gramaticais.

 3) fonológico (ou sublexical). No nível fonológico está a codificação fonológica das palavras, quer dizer, os fonemas.

Preuss (2012, p. 78) diz:

Acredita-se que o processo de produção de fala começa no nível conceitual, com a ativação da representação semântica do conceito-alvo, segue para o nível lexical, com a ativação de palavras candidatas à produção, e, após um processo de seleção lexical, tem início a codificação fonológica da palavra selecionada.

Neste momento partimos da hipótese em que os alunos do segundo grau têm menos conhecimento, especifico, do que os alunos do ensino superior. O estudo de Duval envolveu alunos do segundo grau e do ensino superior. Uma vez que as respostas estavam em consonância com o trabalho de Hajri (1988), o qual só incluía alunos do segundo grau, então a congruência independeria do grau de conhecimento, o que responderia a questão III acima.

Duval (1988, p.104) discute que sem a discriminação de todas as variáveis visuais e das variações na expressão algébrica correspondente, não se pode falar apropriadamente de reconhecimento de uma reta e sua equação.

 

1. 2.     MARCO TEÓRICO.

 

            A questão da necessidade de se ter conhecimento sobre aquilo que se vai trata ou àquilo que se deve fazer-obedecer, é um problema estabelecido em todas as ciências. Do ponto de vista da cidadania esta questão impregna o Direito, pois para que o ser humano possa cumprir com suas obrigações e cobrar os seus direitos, se faz necessário conhecer o arcabouço jurídico mesmo que pontual, ou seja: Que circunscreve o seu comportamento. Então não se trata de ser versado nas leis, mas de se ter lei tão acessível aos cidadãos de tal modo que possibilite ao máximo possível deles sua compreensão.

Há, contudo, grande distância entre o cidadão comum e o Direito e, conforme Vullu (2011, p. 1):

 

O distanciamento entre o homem comum e o Direito não é inerente à contemporaneidade Há muitos séculos, juristas discutem sobre questões concernentes ao desconhecimento ou à não compreensão, pelo homem comum, do conteúdo das normas jurídicas.

 

A necessidade deste conhecimento não se dá apenas para que o homem se beneficie dos seus direitos ao conhecer os seus limites, mas, também, saber o que necessita cumprir para que não se veja envolto em equívocos legais.

Não existe forma mais apropriada para se trabalhar com uma teoria que aquela na qual o estudante reconhece os seus principais elementos, as suas principais ideias. No caso de teorias da aprendizagem é importante ter ciência de que os elementos “consciência e objeto, sujeito e objeto”, estão presentes e se confrontam. Este confronto se dá a partir da função do sujeito e da função do objeto: enquanto o sujeito se “preocupa” em apreender o objeto, o objeto se “preocupa” em ser apreendido pelo sujeito. Deste confronto nasce o conhecimento. Conforme Hessen (2000, p.16) “Nessa relação, sujeito e objeto permanecem eternamente separados. O dualismo do sujeito e do objeto pertence à essência do conhecimento”.

Tomemos Vygotsky. Conforme Rego (1998, p. 43), “As principais idéias de Vygotsky referem-se”:

(1) a relação dialética entre indivíduo-sociedade, nas quais se originam as características tipicamente humanas;

(2) as funções psicológicas superiores;

(3) a relação com o mundo, que seria mediada por "ferramentas" criadas pelo

      homem;

(4) ao cérebro como a base biológica de tais funções mentais.

            Foucault (1996) nos apresenta como principais idéias:

1) O Discurso;

2) A Doutrina;

3) Apropriação Social dos Discursos.

            Por seu lado Bourdieu (+1930 – 2002) defendia que o mundo social deveria ser observado sobre a égide de três conceitos fundamentais: campo, habitus e capital. Por fim, nesta observação temos Vergnaud (1990), que desenvolveu sua teoria a partir de considerações de Vygotsky, constituindo sua teoria tomando como base três elementos os quais conceituou: Situações (S), Invariantes (I) e Representações Simbólicas (R). Todos estes teóricos estabelecem seus elementos base, os define, os conceituam não permitindo haver qualquer “noises” quanto ao significado de cada elemento.

Abrimos um espaço para falarmos de um elemento base na criação dos “ruídos” que ocorrem no trato com a teoria conforme nos diz Ferraz (2013). Segundo o autor, Duval (2003, 2004) designa como principal (Alcance mais amplo) elemento de sua teoria, o termo Registro em uma paródia a Descartes, embora possamos pensar que o termo mais amplo seja Representação, temos dois bons motivos para não acatarmos esta compreensão:

a)     Primeiro Duval (2003, p. 14) in Machado (2003) deixa claro que o elemento mais amplo é Registro ao “sentenciar”: “Para designar os diferentes tipos de representações semióticas utilizados em matemática, falaremos, parodiando Descartes, de ‘Registro’ de Representação”. Percebamos o destaque me Registro.

b)     Segundo porque se falarmos em Sistema Semiótico não estamos falando de Representação, mas sim de um conjunto de representações.

O item ‘b’ traz um pouco de complexidade. Assim, , não é um Sistema Semiótico, mas uma Representação. Observemos que a figura 5 abaixo é um Sistema Semiótico se ‘a’, ‘b’ e f(x) estiverem colocado como uma generalização.

 

Figura 1- Integral geral de uma função em [a;b]

 

Ou seja, se no problema estes elementos não estão definidos, existe uma infinidade de Representações para está integral.  Entretanto observemos, de modo análogo, que existem outras representações para a figura 5 como, por exemplo:

                                 (independente da escolha de  no intervalo)

Figura 2-Definição da Integral de Riemann

 

Desta forma podemos pensar que as figuras 5 e 6 são representações. A explicação é a mesma da figura 5. Mas é fato que podemos chamar as figuras 5 e 6 de Registro.

Entretanto o elemento a ser tratado neste espaço tem a denominação de Representações Semióticas. Quem faz uso das Representações Semióticas lhe pode conceber significações muito variadas. Este elemento, significação, possui tamanha importância na teoria que Duval escreve um artigo exclusivamente para tratar dele. Duval, ao tratar do significante e do significado, nos mostra que a significação tanto pode se referir ao fazer e, neste caso, é um processo, quanto ao “estado”, aquilo que é produzido.

Há uma infinidade de Sistemas Semióticos particulares da matemática. Aqui, para um efeito de coordenação, consideramos os três primeiros sistemas semióticos postos por Duval (2004) - Linguagem Natural, Linguagem Simbólica e Linguagem Figural - quando discute a problemática do funcionamento cognitivo ser ou não independente de Registros de representações semiótica. Tomamos estes três sistemas semióticos por compreendermos que os demais sistemas estão neles contidos.

1. 3.     Do Tratamento e da Conversão.

 

Quaisquer que sejam os sistemas usados para a aprendizagem das matemáticas, eles se fazem perceber através de elementos que são representações do objeto matemático. Por seu lado, o uso de pelo menos duas representações na aprendizagem da matemática cobra, conforme nos diz Duval (2003, 2004), a existência do trânsito entre as representações. O trânsito entre as representações pode ocorrer de duas maneiras: Trânsito entre as representações de um mesmo Sistema Semiótico (como, por exemplo, da Linguagem Simbólica) que acontece dentro de uma mesma Representação, o que nos dá a transformação por tratamento; e trânsito entre representações de sistemas semióticos distintos (como, por exemplo, Linguagem Natura e a Linguagem Figural) que acontece dentro de Representações distintas, o que nos dá a conversão.

Valenzuela & Ayarza (2011, p. 33) consideram dois tipos de Conversão:” Tanto nas formalizações quanto nas atividades propostas nos livros de texto, se analisa os casos em que as conversões são diretas ou indiretas”. Para os autores temos que:

Conversão direta é aquela onde é possível passar de um registro de representação a outro sem a necessidade de outro registro; A conversão indireta é aquela onde somente é possível passar de um registro de representação a outro, se existe outro registro que serve de ponte a esta passagem. Valenzuela & Ayarza (2011, p. 33)

 

Ao tratar da questão referente à leitura de gráficos, Duval (1998) assevera que um dos problemas das conversões diretas está relacionada com o desconhecimento das "regras de correspondência semiótica". Valenzuela & Ayarza (2011, p.33) Exemplifica:

 

[...] a conversão do registro algébrico para o registro gráfico pode realizar-se sem a necessidade do uso de tabela (Conversão direta, nota nossa), sempre que exista uma identificação das unidades significantes próprias do registro algébrico e como este influi no registro gráfico.

 

A primeira questão diz respeito ao grau de congruência principalmente na transformação por conversão. Fica evidenciado por Duval (1988, 2003, 2004) que o processo de conversão pode ser congruente, semi-congruente ou não-congruente quando estabelece: “Existe, na realidade, muitos fatores que determinam o caráter congruente ou não-congruente de uma conversão, o que nos conduz a determinar as situações intermediárias”. Duval (2003, p.19) in Machado (2003).

Nesta concepção há congruência quando as três condições estabelecidas por Duval (2003, 2004) são satisfeitas: Correspondência Semântica das Unidades Significantes; Univocidade Semântica Terminal e; Conservação da ordem de Organização das Unidades Significativas. Por outro lado há semi-congruência quando, uma ou duas destas condições não são satisfeitas e é não-congruente quando nenhuma delas é satisfeita.

Necessitamos, então, observar que se Duval (2003, p.19) nos diz existir “condições intermediarias” de congruência, estas não se podem traduzir em simples semi-congruência. Até mesmo pela etimologia da palavra. Ora semi-
(prefixo latino), exprime a noção de metade, meio, quase. Neste caso semi não pode ser meio, metade, mas quase que por seu lado possui níveis uma vez que podemos ter uma quase congruência ou uma quase não-congruência. Alguns parâmetros devem existir para sabe o quão próximo estamos da congruência ou da não-congruência.

Assim, duas questões se põem, quais sejam: Podemos identificar o grau de congruência? Se o pudermos, poderemos quantificar o seu nível? Deste modo podemos retornar a questão indagando: será possível estabelecer graus de congruência em uma conversão usando intervalo, digamos, [0; 10]?

A questão principal é a quantificação em si que é um processo de matematização. Este é um problema bem próprio das Ciências Humanas: Quantificar. Duval (2004, p.15) nos diz:

 

A matematização de outras disciplinas se caracteriza talvez menos pela introdução de métodos de medidas e de tratamentos puramente quantitativos, que pelo recurso a sistemas semióticos diferentes ao da linguagem natural. Isso é particularmente claro no domino das ciências chamadas de “humanas”.

 

 

A questão, aqui qualificada como principal pela própria natureza do trabalho, precisaria ser definida quanto ao ponto de vista da conversão que necessita, para sua análise, da condição de congruência. Conforme Duval (2003), temos o ponto de vista matemático e o ponto de vista cognitivo que são absolutamente distintos.

Referentemente ao ponto de vista matemático, Duval (2003, p.16) nos diz: “a conversão não tem nenhum papel intrínseco nos processos matemáticos de justificação ou de prova...”. Referentemente ao ponto de vista cognitivo Duval (ibidem) nos diz: “... A conversão... Aparece como atividade de transformação presentacional fundamental: Aquela que conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão”.

Assim a conversão é ao mesmo tempo: uma forma de escolher pelo menos duas Representações mais adequadas, e uma atividade de transformação. O que nos conduz, ainda mais, a convicção da existência nos níveis de congruência.

Uma atenção particular deve ser dada ao fato de se perguntar: O grau de congruência se dar partir do percentual de acerto do aluno na passagem entre linguagens, ou este grau está estabelecido na questão?  Então outro fato sobressai: O grau de congruência depende ou não do grau de conhecimento do aluno? Ora, se o grau de congruência se dá na formulação da questão, então o grau de conhecimento do aluno é irrelevante para a “medição”!

 

1. 4.     Conclusão.

 

 

            Em nossa tese para fins de progressão na carreira acadêmica no nível de Titular, estamos apresentando:

1 – Que a questão da congruência esta ligada a dois fatores principais: De um lado o conhecimento específico, de outro a proposição / enunciado da questão;

2 – Seis níveis de congruências e inserido os termos congruência Global e Congruência não-Global ou Semi-congruência Global.

Pudemos ver que a Conversão é, ao mesmo tempo, uma atividade na escolha de, pelo menos, duas Representações adequadas, e um processo de Transformação, o que nos sugere a existência nos níveis de Congruência; a importância do enunciado da questão; e a relevância do conhecimento específico.

Enquanto a Conversão é um processo de transformação de Representações provenientes de Sistemas Semióticos distintos, mas que conserve a característica do Objeto, a Congruência é um composto de elementos que vai dizer o quão congruente é a questão, isto é: O quanto é simples perceber-se o Registro de entra no Registro de saída. Assim, quando menos clara está esta percepção, mais próximo à questão está da não-congruência.

Uma mesma questão pode ser congruente, ou seja: está muito próxima de uma simples situação de decodificação ou “não tão congruente”. Vale dizer ter para o aluno uma compreensão dificultada ou mesmo não ter congruência. E isso justifica a proposição de níveis de congruência.

 

1. 5.     Bibliografia (Já consultada para a tese)

 

Albuquerque, J. de L. Diagnóstico ambiental e questões estratégicas: uma análise considerando o polo gesseiro do sertão do Araripe – Estado de Pernambuco. Curitiba, Universidade Federal do Paraná, Tese de Doutorado do Programa de Pós-graduação em Ciências Florestais, Área de Concentração em Economia e Política Florestal. 2002, 185 p.

 

COURANT, R.. Cálculo Diferencial e integral, v.1. Editora Globo, Rio de Janeiro, Porto Alegre, São Paulo, 1965.

 Disponível em http://www.faccrei.edu.br/dialogoeinteracao/

 

DUGDALE, S. – Functions and Graphs – Perspectives on Student Thinking in Integrating Research on the Graphical Representation of functions – Lawrence Erlbaum Associates, Plublishers, Hillsdale, New Jersey , 1993.  

 

DUVAL, Raymond. Écarts semantiques et cohérence mathématique: introduction aux problems de congruence. Annales de didactique et de sciences cognitives, Vollume 1, páginas 7-25, IREM de Strasbourg, 1988a.

 

______. Quel cognitif retenir en didactique des mathématiques? RDM, v.16, número 3, páginas 349-382, 1996.

______. Registres de représentation sémiotique e fonctionnement cognitif de la pensé. Annales de didactique et de sciences cognitives. Strasbourg, IREM-ULP, Vollume 5, 1993.

______. Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: MACHADO, Silvia Dias de Alcântara (Org), Aprendizagem em Matemática: Registros de Representação Semiótica. Campinas: Papirus, 2003.

______. Sémiosis et pensée humaine: Registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Bern, Peter Lang, 1995.

 

______. Les problemas fundamentales en el aprendizaje matemáticas y las formas superiores en el desarrollo cognitivo. Trad. Myrian V. Restrepo. Cali : Universidade del Valle, 2004.

 

Ferraz, A.G – Esboço de gráfico de função: Um estudo semiótico. Tese. UFPE. Recife. 2008.

 

FLORES, C.R & MORETTI, M.T - A Articulação de Registros Semióticos para a Aprendizagem: Analisando a Noção de Congruência Semântica na Matemática e na Física. Perspectivas da educação matemática, Campo Grande, MS, v. 1, n. 1, p. 25 – 40, jan./jun.2008.

 

GITIRANA, G.F., GILDA, L. G. e  ROAZZONI, A. INTERPRETANDO E CONSTRUINDO GRÁFICOS.

 Disponivel em www.anped.org.br/reunioes/24/T1961055920448.DOC

Acessado em 22 de Abril de 2013, às 03:24

 

KRUTETSKII, V. A. The Psychology of mathematical abilities in schoolchildren. Traduzido do Russo por Joan Teller. Editado por Jeremy Kilpatrick eIzaak Wirszup. USA

 

LOPES, A. C. M., BATISTA, C. SANTOS, A. E. S.- FUNÇÃO DO 1º GRAU:

 

MILL, J.S. - Da a liberdade, São Paulo: Ibrasa, 1942

 

PREUSS. E. O - A funcionalidade do princípio interativo na produção de fala bilíngue Functionality in the interactive principle in bilingual speech production

 

TOCQUEVILLE, A. - A Democracia na América, São Paulo: Edusp, 1987.

 

VALENZUELA, C. L. G., & Ayarza, R. O. Trabajo de Investigación: Registros de representación semiótica utilizados para la proporcionalidad y lafunción lineal en los textos de matemáticas de 8º año básico, Tesis de Magíster en la Enseñanza de las Ciencias conmención en Didáctica de las Matemáticas. Julio, 2011.

Visitado em 23 de Abril de 2013 às 01:25

 

VULU, E. M. -  DIÁLOGO E INTERAÇÃO CLAREZA E OBSCURIDADE NO TEXTO LEGAL.Vollume 5, 2011, - ISSN 2175-3687.